以(-2,0)(2,0)为焦点,经过直线l:x+y=9上一点P作椭圆C,当C长轴最短时,求椭圆C的方程.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 15:40:53
![以(-2,0)(2,0)为焦点,经过直线l:x+y=9上一点P作椭圆C,当C长轴最短时,求椭圆C的方程.](/uploads/image/z/11437617-57-7.jpg?t=%E4%BB%A5%EF%BC%88-2%2C0%EF%BC%89%EF%BC%882%2C0%EF%BC%89%E4%B8%BA%E7%84%A6%E7%82%B9%2C%E7%BB%8F%E8%BF%87%E7%9B%B4%E7%BA%BFl%EF%BC%9Ax%2By%3D9%E4%B8%8A%E4%B8%80%E7%82%B9P%E4%BD%9C%E6%A4%AD%E5%9C%86C%2C%E5%BD%93C%E9%95%BF%E8%BD%B4%E6%9C%80%E7%9F%AD%E6%97%B6%2C%E6%B1%82%E6%A4%AD%E5%9C%86C%E7%9A%84%E6%96%B9%E7%A8%8B.)
以(-2,0)(2,0)为焦点,经过直线l:x+y=9上一点P作椭圆C,当C长轴最短时,求椭圆C的方程.
以(-2,0)(2,0)为焦点,经过直线l:x+y=9上一点P作椭圆C,当C长轴最短时,求椭圆C的方程.
以(-2,0)(2,0)为焦点,经过直线l:x+y=9上一点P作椭圆C,当C长轴最短时,求椭圆C的方程.
考虑直线和椭圆的位置关系 ,只有当直线与椭圆相切时 ,短轴长最短 ,此时长轴长也最短 .∵c = 2 ,且焦点在x轴上 ,∴b^2 = a^2 - c^2 = a^2 - 4 ,可设方程为:[x^2/a^2] + [y^2/(a^2 - 4)] = 1 ,即:(a^2 - 4)·x^2 + a^2·y^2 = a^2(a^2 - 4) ,代入直线方程:(a^2 - 4)·x^2 + a^2·(9 - x)^2 = a^2(a^2 - 4) ,
整理得:(2a^2 - 4)x^2 - 18a^2·x + (85a^2 - a^4) = 0 ,∵相切 ,∴△ = 0 ,∴324a^4 = 4(2a^2 - 4)(85a^2 - a^4) ,解方程得:a^2 = 4 或 a^2 = 85/2 ,∵a^2 > c^2 = 4 ,∴a^2 = 85/2 ,∴b^2 = (85/2) - 4 = 77/2 ,
∴当C长轴最短时,椭圆C的方程为:x^2/(85/2) + y^2/(77/2) = 1
(-2,0)关于直线l:x+y=9的对称点为:(9,11)
(9,11),(2,0)的距离= √[(9-2)^2+11^2]=√170
a^2=170/4=85/2
b^2=a^2-c^2=85/2-4=77/2
椭圆方程:x^2/(85/2)+y^2/(77/2)=1
即:2x^2/85+2y^2/77=1
F1(-2,0)关于直线l的对称点A(9,11),根据反射原理
F2(2,0)
AF2的长度就是2a,其中a是最小半长轴
给分吧