关于数列极限定义的疑问设为一数列,如果存在常数a,对于任意给定的正数ε (不论它多么小),总存在正整数N,使得当n>N时,不等式|Xn-a|呵呵,我自己又想了想,不知对不?ε是可以取任意小的
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 11:00:42
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关于数列极限定义的疑问设为一数列,如果存在常数a,对于任意给定的正数ε (不论它多么小),总存在正整数N,使得当n>N时,不等式|Xn-a|呵呵,我自己又想了想,不知对不?ε是可以取任意小的
关于数列极限定义的疑问
设为一数列,如果存在常数a,对于任意给定的正数ε (不论它多么小),总存在正整数N,使得当n>N时,不等式|Xn-a|
呵呵,我自己又想了想,不知对不?ε是可以取任意小的数,对于存在极限A的数列Xn,当n>=N时,不等式|Xn-a|
关于数列极限定义的疑问设为一数列,如果存在常数a,对于任意给定的正数ε (不论它多么小),总存在正整数N,使得当n>N时,不等式|Xn-a|呵呵,我自己又想了想,不知对不?ε是可以取任意小的
不能,极限就是无限逼近的意思,不可能相等
都可以。
n>N和n>=N在这里时没区别的,只要N再取大点>=就变成>了……
| Xn-a|<ε中改为<=时,对于任意的正数ε,我们只要取正数ε2<ε,则当{an}收敛时照样有N2,使得|Xn-a|<=ε2,此时,我们只要取N>N2,则对任意的n>N,
|Xn-a|<=ε2<ε,常数a是数列的极限。...
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都可以。
n>N和n>=N在这里时没区别的,只要N再取大点>=就变成>了……
| Xn-a|<ε中改为<=时,对于任意的正数ε,我们只要取正数ε2<ε,则当{an}收敛时照样有N2,使得|Xn-a|<=ε2,此时,我们只要取N>N2,则对任意的n>N,
|Xn-a|<=ε2<ε,常数a是数列的极限。
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大家一起来探讨吧,我认为不能:
不等式 |Xn-a|<ε 要是写成 0≤|Xn-a|<ε 就好理解了吧,取 ε 的目的是为了让 Xn-a 的值足够接近于0,即 Xn 足够接近于 a ,才能说明其以 a 为极限。而 |Xn-a|=ε 却是不等式中距离0最远的,这与足够接近 a 的本意是违背的。
而且看看极限定义的几何意义便知:
任意给定邻域 N(a,ε),则必存在 N ,使得...
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大家一起来探讨吧,我认为不能:
不等式 |Xn-a|<ε 要是写成 0≤|Xn-a|<ε 就好理解了吧,取 ε 的目的是为了让 Xn-a 的值足够接近于0,即 Xn 足够接近于 a ,才能说明其以 a 为极限。而 |Xn-a|=ε 却是不等式中距离0最远的,这与足够接近 a 的本意是违背的。
而且看看极限定义的几何意义便知:
任意给定邻域 N(a,ε),则必存在 N ,使得 n>N 的一切 Xn 都落在 N(a,≤ε)之内。
而邻域写成区间的形式为(a-ε,a+ε) ,为开区间,即不包括两端点。所以|Xn-a|<ε不能写成|Xn-a|≤ε。
以上为我的观点,供参考,不过最好亲自问问数学老师吧。
对于问题补充的回答补充:
ε是可取任意小,但一旦取定一个值之后,Xn-a 就应比它还要小,如何证明两数够接近?任取你能想象到的小数,但这两数之差比你想得数还要小,才能说明够接近。这就是数学语言。你看看所有有关极限的证明题,都是<,没有≤。其实这也就是一念之差的事,再想想吧。刚接触极限定义么?
再补充:
为何不能等呢?
数列2,2,2,2,2,2,2......的极限是多少呢?你说它没极限么?
终极补充:
除了这个等号外,对极限定义还有费解之处么?没有的话暂时就不想了,极限定义是高等数学里第一个遇到的也是最大的难啃骨头,随着时间的推移,理解的加深,自然就会明白。不要着急啦o(∩_∩)o...
“等号情结”实在不行就放一放吧,数学知识确确实实应该深挖、挖透。但如若遇到这种情况,为了继续学习只能放一放了。有精力还不如多看看高数定理的证明,类似极限的数学思想通篇贯穿其中,正好也扩展一下思路,老在一个地方纠结会影响复习进度以及积极性的。
我请教了一位南开大学数学系的哥儿们,他倾向于小于等于,但同时表示还是应该模糊一些好。那就模糊一些吧,考试也不考。
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