过P(1,m)的直线中 只有一条与抛物线y方=x有唯一公共点 则实数m的取值范围是
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 10:11:53
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过P(1,m)的直线中 只有一条与抛物线y方=x有唯一公共点 则实数m的取值范围是
过P(1,m)的直线中 只有一条与抛物线y方=x有唯一公共点 则实数m的取值范围是
过P(1,m)的直线中 只有一条与抛物线y方=x有唯一公共点 则实数m的取值范围是
方法一:
∵过点(1,m)的直线L与抛物线y^2=x有唯一的公共点,∴直线L与抛物线y^2=相切.
令切点为(a^2,a).
对y^2=x求导数,得:2yy′=1,∴y′=1/(2y).
∴直线L的斜率=1/(2a).
显然,直线L的斜率=(a-m)/(a^2-1).
∴1/(2a)=(a-m)/(a^2-1),∴a^2-1=2a^2-2ma,∴a^2-2ma+1=0.
∵a是实数,∴需要(-2m)^2-4×1×1≧0,∴m^2≧1,∴m≦-1,或m≧1.
∴满足条件的m的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞).
方法二:
令过点(1,m)的直线L的方程为:y-m=k(x-1).
联立:y-m=k(x-1)、y^2=x,消去y,得:[k(x-1)+m]^2=x,
∴k^2(x-1)^2+2km(x-1)+m^2=(x-1)+1,
∴k^2(x-1)^2+(2km-1)(x-1)+m^2-1=0.
∵直线L与抛物线y^2=x只有一个公共点,
∴方程k^2(x-1)^2+(2km-1)(x-1)+m^2-1=0两根相等,
∴(2km-1)^2-4k^2(m^2-1)=0, ∴4m^2k^2-4mk+1-4m^2k^2+4k^2=0,
∴4k^2-4mk+1=0.
∵k是实数,∴需要(-4m)^2-4×4≧0,∴m^2≧1,∴m≦-1,或m≧1.
∴满足条件的m的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞).