如图,AB为⊙O的直径,直线MN交⊙O于C、D两点AE⊥MN,BF⊥MN垂足分别为E、F 求证:CE=DF,OE=OF
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/01 06:01:52
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如图,AB为⊙O的直径,直线MN交⊙O于C、D两点AE⊥MN,BF⊥MN垂足分别为E、F 求证:CE=DF,OE=OF
如图,AB为⊙O的直径,直线MN交⊙O于C、D两点AE⊥MN,BF⊥MN垂足分别为E、F 求证:CE=DF,OE=OF
如图,AB为⊙O的直径,直线MN交⊙O于C、D两点AE⊥MN,BF⊥MN垂足分别为E、F 求证:CE=DF,OE=OF
证明:
作OG⊥CD于G
则CG=DG
过E点作EN//AB,交GO的延长线于M,交FB的延长线于N
∵AE⊥CD,BF⊥CD,OG⊥CD
∴AE//OG//BF
∴四边形AEMG和OMNB均是平行四边形
∴EM=AO,MN=OB
∵AO=OB
∴EM=MN
∵MG//NF
∴EM/MN=EG/GF
∴EG=GF
∴CE=DF
∵EG=GF,OG⊥EF,即OG是EF的垂直平分线
∴OE=OF
延长BF交圆与G点,连接AC,连接DG,连接BD,连接AG,连接AD,因为∠ACD=∠ABD,∠ABD+∠BAD=90°,∠ACD+∠CAF=90°,所以∠CAF=∠BAD,因为∠BAD=∠BDG,所以∠CAF=∠BDG,因为AE⊥MN,BF⊥MN,所以AE∥BG,所以∠EAB=∠ABG,因为∠GAD=∠GBD,∠GBD+∠ABG+∠BAD=90°,所以∠GAE=90°,所以AG∥CD,因为AE∥...
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延长BF交圆与G点,连接AC,连接DG,连接BD,连接AG,连接AD,因为∠ACD=∠ABD,∠ABD+∠BAD=90°,∠ACD+∠CAF=90°,所以∠CAF=∠BAD,因为∠BAD=∠BDG,所以∠CAF=∠BDG,因为AE⊥MN,BF⊥MN,所以AE∥BG,所以∠EAB=∠ABG,因为∠GAD=∠GBD,∠GBD+∠ABG+∠BAD=90°,所以∠GAE=90°,所以AG∥CD,因为AE∥GF,所以AE=GF,所以△ACE≌△GFD,所以CE=DF.
因为OC=OD,所以∠OCD=∠ODC,因为OC=OD,∠OCD=∠ODC,CE-DF,所以△OCE≌△ODF,所以OE=OF.希望你能看懂。
收起
取CD中点M,连结OM, ∵AE⊥MN,BF⊥MN, ∴AE//BF,且四边形ABEF是直角梯形, ∵CM=MD, ∴OM⊥CD,(弦心距性质), ∴OM//AE//BF, ∵O是AB中点, ∴OM是梯形ABFE的中位线, ∴EM=FM, ∴EM-CM=MF-MD, ∴CE=DF。 ∵CO=DO=R, EC=DF, ∵△OCD是等腰△, OC=OD, ∴〈OCD=〈ODC, ∴〈OCE=〈ODF,(其补角亦相等), ∴△ECO≌△FDO,(SAS), ∴OE=OF。