如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,过点E作EF∥BC交CD于点F,AB=4,BC=6,∠B=60°.(1)求点E到BC的距离;(2)点P为线段上的一个动点,过P作PM垂直EF交BC于点M,过M作MN∥AB交折线ADC于点N,连接PN.①
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/02 13:23:27
![如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,过点E作EF∥BC交CD于点F,AB=4,BC=6,∠B=60°.(1)求点E到BC的距离;(2)点P为线段上的一个动点,过P作PM垂直EF交BC于点M,过M作MN∥AB交折线ADC于点N,连接PN.①](/uploads/image/z/9770579-35-9.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E5%9C%A8%E7%AD%89%E8%85%B0%E6%A2%AF%E5%BD%A2ABCD%E4%B8%AD%2CAD%E2%88%A5BC%2CE%E6%98%AFAB%E7%9A%84%E4%B8%AD%E7%82%B9%2C%E8%BF%87%E7%82%B9E%E4%BD%9CEF%E2%88%A5BC%E4%BA%A4CD%E4%BA%8E%E7%82%B9F%2CAB%3D4%2CBC%3D6%2C%E2%88%A0B%3D60%C2%B0.%EF%BC%881%EF%BC%89%E6%B1%82%E7%82%B9E%E5%88%B0BC%E7%9A%84%E8%B7%9D%E7%A6%BB%EF%BC%9B%EF%BC%882%EF%BC%89%E7%82%B9P%E4%B8%BA%E7%BA%BF%E6%AE%B5%E4%B8%8A%E7%9A%84%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%8A%A8%E7%82%B9%2C%E8%BF%87P%E4%BD%9CPM%E5%9E%82%E7%9B%B4EF%E4%BA%A4BC%E4%BA%8E%E7%82%B9M%2C%E8%BF%87M%E4%BD%9CMN%E2%88%A5AB%E4%BA%A4%E6%8A%98%E7%BA%BFADC%E4%BA%8E%E7%82%B9N%2C%E8%BF%9E%E6%8E%A5PN.%E2%91%A0)
如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,过点E作EF∥BC交CD于点F,AB=4,BC=6,∠B=60°.(1)求点E到BC的距离;(2)点P为线段上的一个动点,过P作PM垂直EF交BC于点M,过M作MN∥AB交折线ADC于点N,连接PN.①
如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,过点E作EF∥BC交CD于点F,AB=4,BC=6,∠B=60°.(1)求点E到BC的距离;(2)点P为线段上的一个动点,过P作PM垂直EF交BC于点M,过M作MN∥AB交折线ADC于点N,连接PN.
①当点N在线段DC上时,△PMN的形状是否发生变化.
②当点N在线段DC上时,是否存在点P,△PMN为等腰三角形.
如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,过点E作EF∥BC交CD于点F,AB=4,BC=6,∠B=60°.(1)求点E到BC的距离;(2)点P为线段上的一个动点,过P作PM垂直EF交BC于点M,过M作MN∥AB交折线ADC于点N,连接PN.①
设EP=x(1)如图1,过点E作EG⊥BC于点G.∵E为AB的中点,∴BE=1 2 AB=2在Rt△EBG中,∠B=60°,∴∠BEG=30度.∴BG=1 2 BE=1,EG= 2²-1²= 根号3 即点E到BC的距离为 根号3 (2)①当点N在线段AD上运动时,△PMN的形状不发生改变.∵PM⊥EF,EG⊥EF,∴PM∥EG,又EF∥BC,∴四边形EPMG为平行四边形,∴EP=GM,PM=EG= 3 同理MN=AB=4.如图2,过点P作PH⊥MN于H,∵MN∥AB,∴∠NMC=∠B=60°,∠PMH=30度.∴PH=½ PM= 根号3/2∴MH=PM•cos30°=3/2则NH=MN-MH=4-3 /2 =5 /2 在Rt△PNH中,PN= NH2+PH2 = (5 /2 )2+( 3 / 2 )2 = 7 ∴△PMN的周长=PM+PN+MN= 3 + 7 +4②当点N在线段DC上运动时,△PMN的形状发生改变,但△MNC恒为等边三角形.当PM=PN时,如图3,作PR⊥MN于R,则MR=NR.类似①,MR=3 /2 ,∴MN=2MR=3.∵△MNC是等边三角形,∴MC=MN=3.此时,x=EP=GM=BC-BG-MC=6-1-3=2.当MP=MN时,∵EG= 根号3 ,∴MP=MN= 3 ,∵∠B=∠C=60°,∴△MNC是等边三角形,∴MC=MN=MP= 根号3 此时,x=EP=GM=6-1- 根号3 =5-根号 3 ,当NP=NM时,如图5,∠NPM=∠PMN=30度.则∠PNM=120°,又∠MNC=60°,∴∠PNM+∠MNC=180度.因此点P与F重合,△PMC为直角三角形.∴MC=PM•tan30°=1.此时,x=EP=GM=6-1-1=4.综上所述,当x=2或4或(5- 根号3 )时,△PMN为等腰三角形.