设F1,F2,分别是椭圆C:(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1(a>b>0)的左,右焦点,过F1且斜率为1的直线l与C交于A,B两点,且AF1,AB,BF2,成等差数列求证a=根号2b设点P(0,-1)满足PA=PB,求椭圆C的方程
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 22:15:48
![设F1,F2,分别是椭圆C:(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1(a>b>0)的左,右焦点,过F1且斜率为1的直线l与C交于A,B两点,且AF1,AB,BF2,成等差数列求证a=根号2b设点P(0,-1)满足PA=PB,求椭圆C的方程](/uploads/image/z/962776-64-6.jpg?t=%E8%AE%BEF1%2CF2%2C%E5%88%86%E5%88%AB%E6%98%AF%E6%A4%AD%E5%9C%86C%EF%BC%9A%28x%5E2%2Fa%5E2%29%2B%28y%5E2%2Fb%5E2%29%3D1%28a%3Eb%3E0%29%E7%9A%84%E5%B7%A6%2C%E5%8F%B3%E7%84%A6%E7%82%B9%2C%E8%BF%87F1%E4%B8%94%E6%96%9C%E7%8E%87%E4%B8%BA1%E7%9A%84%E7%9B%B4%E7%BA%BFl%E4%B8%8EC%E4%BA%A4%E4%BA%8EA%2CB%E4%B8%A4%E7%82%B9%2C%E4%B8%94AF1%2CAB%2CBF2%2C%E6%88%90%E7%AD%89%E5%B7%AE%E6%95%B0%E5%88%97%E6%B1%82%E8%AF%81a%3D%E6%A0%B9%E5%8F%B72b%E8%AE%BE%E7%82%B9P%EF%BC%880%2C-1%EF%BC%89%E6%BB%A1%E8%B6%B3PA%3DPB%2C%E6%B1%82%E6%A4%AD%E5%9C%86C%E7%9A%84%E6%96%B9%E7%A8%8B)
设F1,F2,分别是椭圆C:(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1(a>b>0)的左,右焦点,过F1且斜率为1的直线l与C交于A,B两点,且AF1,AB,BF2,成等差数列求证a=根号2b设点P(0,-1)满足PA=PB,求椭圆C的方程
设F1,F2,分别是椭圆C:(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1(a>b>0)的左,右焦点,过F1且斜率为1的直线l与C交于A,B两点,且AF1,AB,BF2,成等差数列
求证a=根号2b
设点P(0,-1)满足PA=PB,求椭圆C的方程
设F1,F2,分别是椭圆C:(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1(a>b>0)的左,右焦点,过F1且斜率为1的直线l与C交于A,B两点,且AF1,AB,BF2,成等差数列求证a=根号2b设点P(0,-1)满足PA=PB,求椭圆C的方程
若AF2,AB,BF2成等差数列,则|AF2|+|BF2|=2|AB|,
又因为|AF2|+|BF2|+|AB|=|AF2|+|BF2|+||AF1|+|BF1|=4a,
所以3|AB|=4a,|AB|=4a/3 ①,
设直线L为y=x+c,A(x1,y1),B(x2,y2),
将y=x+c代入x²/a²+y²/b²=1,整理得(a²+b²)x²+2a²cx+a²c²-a²b²=0(﹡),
所以x1+x2=-2a²c/(a²+b²),
又由焦半径公式得|AB|=|AF1|+|AF2|=a+ex1+a+ex2=2a+e(x1+x2),
所以|AB|=2a+e[-2a²c/(a²+b²)]=2a-2ac²/(a²+b²)=4b²/(a²+b²) ②,
由①、②得4a/3=4b²/(a²+b²) ,所以a²=2b²,即a=√2b.
此时,c=b=√2/2,方程(﹡)变为3x²+2√2ax=0,
所以x1=0,x2=-2√2a/3,故A(0,√2a/2),B(-2√2a/3,-√2a/6),
因为P(0.-1),且|PA|=|PB|,即|PA|²=|PB|²
所以(√2a/2+1)²=( -2√2a/3)²+( -√2a/6+1)²,解得a=0(舍去),或a=3√2,
所以椭圆C的方程是x²/18+y²/9=1.