如图,正三棱柱ABC—A1B1C1,AA1=AB,E是侧棱AA1的中点,(1)求证BC1垂直EC,(2)求二面角A-B-C的大小能不能用文科的方法,不用直角坐标系啊?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/01 00:37:16
![如图,正三棱柱ABC—A1B1C1,AA1=AB,E是侧棱AA1的中点,(1)求证BC1垂直EC,(2)求二面角A-B-C的大小能不能用文科的方法,不用直角坐标系啊?](/uploads/image/z/8853567-15-7.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E6%AD%A3%E4%B8%89%E6%A3%B1%E6%9F%B1ABC%E2%80%94A1B1C1%2CAA1%3DAB%2CE%E6%98%AF%E4%BE%A7%E6%A3%B1AA1%E7%9A%84%E4%B8%AD%E7%82%B9%2C%EF%BC%881%EF%BC%89%E6%B1%82%E8%AF%81BC1%E5%9E%82%E7%9B%B4EC%2C%EF%BC%882%EF%BC%89%E6%B1%82%E4%BA%8C%E9%9D%A2%E8%A7%92A-B-C%E7%9A%84%E5%A4%A7%E5%B0%8F%E8%83%BD%E4%B8%8D%E8%83%BD%E7%94%A8%E6%96%87%E7%A7%91%E7%9A%84%E6%96%B9%E6%B3%95%2C%E4%B8%8D%E7%94%A8%E7%9B%B4%E8%A7%92%E5%9D%90%E6%A0%87%E7%B3%BB%E5%95%8A%3F)
如图,正三棱柱ABC—A1B1C1,AA1=AB,E是侧棱AA1的中点,(1)求证BC1垂直EC,(2)求二面角A-B-C的大小能不能用文科的方法,不用直角坐标系啊?
如图,正三棱柱ABC—A1B1C1,AA1=AB,E是侧棱AA1的中点,(1)求证BC1垂直EC,(2)求二面角A-B-C的大小
能不能用文科的方法,不用直角坐标系啊?
如图,正三棱柱ABC—A1B1C1,AA1=AB,E是侧棱AA1的中点,(1)求证BC1垂直EC,(2)求二面角A-B-C的大小能不能用文科的方法,不用直角坐标系啊?
第一个问题:
令BC1∩B1C=O.
∵ABC-A1B1C1是正三棱柱,AA1=AB,∴AA1B1B、AA1C1C、BB1C1C是全等的正方形.
∴BO=C1O=B1O=CO,且BC1⊥B1C.······①
∵E是AA1的中点,
∴由勾股定理,容易算出:BE=C1E,结合证得的BO=C1O,得:BC1⊥EO.······②
由①、②及BC1∩EO=O,得:BC1⊥平面EB1C,∴BC1⊥EC.
第二个问题:你忙中大意了,是不是求二面角A-BE-C的大小? 若是这样,则方法如下.
令AB的中点为D,过D作DF⊥BE交BE于F,连结CF.
∵AA1B1B、AA1C1C、BB1C1C是全等的正方形,∴AB=BC=AC,又D为AB的中点,
∴CD⊥AB.
显然有平面ABC⊥平面ABB1A1,又平面ABC∩平面ABB1A1=AB,结合证得的CD⊥AB,得:
CD⊥平面ABB1A1,∴DF是CF在平面ABB1A1上的射影,
∴由三垂线定理,有:CF⊥BE.
由DF⊥BE、CF⊥BE,得:∠CFD为二面角A-BE-C的平面角.
∵Rt△ABE与Rt△FBD有一个公共锐角,即∠ABE,∴Rt△ABE∽Rt△FBD,
∴DF/AE=BD/BE,∴DF=BD×AE/BE.
∴tan∠CFD=CD/DF=CD×BE/(BD×AE)
=(√3/2)AB√(AB^2+AE^2)/[(1/2)AB×(1/2)AA1]
=2√3×√[AB^2+(AA1/2)^2]/AB
=2√3×√[AB^2+(AB/2)^2]/AB
=2√3×√(1+1/4)
=√15.
∴∠CFD=arctan√15. 即二面角A-BE-C的大小为 arctan√15.
注:第二个问题若不是我所猜测的那样,则请你补充说明.