设f(2^x)=x²+bx+c(b、c∈R)(1)求函数f(x)的解析式(2)当x∈(0,1/4]∪[4,正无穷大),恒有f(x)≥0,且f(x)在区间(4,8]上的最大值为1,求b的取值范围
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/05 17:37:53
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设f(2^x)=x²+bx+c(b、c∈R)(1)求函数f(x)的解析式(2)当x∈(0,1/4]∪[4,正无穷大),恒有f(x)≥0,且f(x)在区间(4,8]上的最大值为1,求b的取值范围
设f(2^x)=x²+bx+c(b、c∈R)
(1)求函数f(x)的解析式
(2)当x∈(0,1/4]∪[4,正无穷大),恒有f(x)≥0,且f(x)在区间(4,8]上的最大值为1,求b的取值范围
设f(2^x)=x²+bx+c(b、c∈R)(1)求函数f(x)的解析式(2)当x∈(0,1/4]∪[4,正无穷大),恒有f(x)≥0,且f(x)在区间(4,8]上的最大值为1,求b的取值范围
(1)设u=2^x,则u>0,x=logu,
f(u)=[logu]^2+blogu+c,
即f(x)=[logx]^2+blogx+c.
(2)x∈(0,1/4]∪[4,+∞)时v=logx的值域是(-∞,-2)]∪[2,+∞),
f(x)=v^2+bv+c=g(v)>=0,
g(-2)=4-2b+c>=0,g(2)=4+2b+c>=0,①
f(x)在区间(4,8]上的最大值为1,
g(v)在(2,3]上的最大值为1,
g(3)=9+3b+c=1,c=-3b-8,代入①,-5b-4>=0,-b-4>=0,
解得b
详细答案过程见下图