已知椭圆C的中心在坐标原点,右焦点为F(3,0),它的一个顶点为B(0.3),过点P(0,-1)的直线l交椭圆C于M、N两点(1)求|PM|的最大值,并写出此时M点的坐标(2)在坐标平面内能否存在定点T,使得关于任意
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/01 16:14:43
![已知椭圆C的中心在坐标原点,右焦点为F(3,0),它的一个顶点为B(0.3),过点P(0,-1)的直线l交椭圆C于M、N两点(1)求|PM|的最大值,并写出此时M点的坐标(2)在坐标平面内能否存在定点T,使得关于任意](/uploads/image/z/7876194-42-4.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E6%A4%AD%E5%9C%86C%E7%9A%84%E4%B8%AD%E5%BF%83%E5%9C%A8%E5%9D%90%E6%A0%87%E5%8E%9F%E7%82%B9%2C%E5%8F%B3%E7%84%A6%E7%82%B9%E4%B8%BAF%283%2C0%29%2C%E5%AE%83%E7%9A%84%E4%B8%80%E4%B8%AA%E9%A1%B6%E7%82%B9%E4%B8%BAB%280.3%29%2C%E8%BF%87%E7%82%B9P%280%2C-1%29%E7%9A%84%E7%9B%B4%E7%BA%BFl%E4%BA%A4%E6%A4%AD%E5%9C%86C%E4%BA%8EM%E3%80%81N%E4%B8%A4%E7%82%B9%281%EF%BC%89%E6%B1%82%7CPM%7C%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%80%BC%2C%E5%B9%B6%E5%86%99%E5%87%BA%E6%AD%A4%E6%97%B6M%E7%82%B9%E7%9A%84%E5%9D%90%E6%A0%87%EF%BC%882%EF%BC%89%E5%9C%A8%E5%9D%90%E6%A0%87%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E5%86%85%E8%83%BD%E5%90%A6%E5%AD%98%E5%9C%A8%E5%AE%9A%E7%82%B9T%2C%E4%BD%BF%E5%BE%97%E5%85%B3%E4%BA%8E%E4%BB%BB%E6%84%8F)
已知椭圆C的中心在坐标原点,右焦点为F(3,0),它的一个顶点为B(0.3),过点P(0,-1)的直线l交椭圆C于M、N两点(1)求|PM|的最大值,并写出此时M点的坐标(2)在坐标平面内能否存在定点T,使得关于任意
已知椭圆C的中心在坐标原点,右焦点为F(3,0),它的一个顶点为B(0.3),过点P(0,-1)的直线l交椭圆C于M、N两点
(1)求|PM|的最大值,并写出此时M点的坐标
(2)在坐标平面内能否存在定点T,使得关于任意的直线l都有MT⊥NT成立?若存在,求出定点T的坐标;若不存在,阐明理由
已知椭圆C的中心在坐标原点,右焦点为F(3,0),它的一个顶点为B(0.3),过点P(0,-1)的直线l交椭圆C于M、N两点(1)求|PM|的最大值,并写出此时M点的坐标(2)在坐标平面内能否存在定点T,使得关于任意
已知椭圆C的中心在坐标原点,右焦点为F(3,0);它的一个顶点为B(0.3);过点P(0,-1)的直线L交椭圆C于M、N两点.(1).求|PM|的最大值,并写出此时M点的坐标;(2).在坐标平面内能否存在定点T,使得关于任意的直线L都有MT⊥NT成立?若存在,求出定点T的坐标;若不存在,阐明理由
(1).已知c=3;b=3,故a²=b²+c²=18,a=3√2;于是的椭圆方程为x²/18+y²/9=1.
把椭圆方程写成参数形式:x=3(√2)cost,y=3sint.
设M点的坐标为(3(√2)cost,3sint),那么:
∣PM∣=√[18cos²t+(3sint+1)²]=√[18cos²t+9sin²t+6sint+1]
=√[9cos²t+6sint+10]=√[9(1-sin²t)+6sint+10]=√[-9sin²t+6sint+19]
=√[-9(sint-1/3)²+20]≦√20=2√5.
即当sint=1/3时∣PM∣获得最大值2√5;此时M点的坐标为(4,1).
(2).设过P(0,-1)的直线L的方程为y=kx-1;代入椭圆方程得9x²+18(kx-1)²-162=0
展开化简得(9+18k²)x²-36kx-144=0
设M(x₁,y₁);N(x₂,y₂);则:
x₁+x₂=36k/(9+18k²)=4k/(1+2k²)
x₁x₂=-144/(9+18k²)=-16/(1+2k²)
y₁+y₂=k(x₁+x₂)-2=4k²/(1+2k²)-2=-2/(1+2k²)
y₁y₂=(kx₁-1)(kx₂-1)=k²x₁x₂-k(x₁+x₂)+1=-16k²/(1+2k²)-4k²/(1+2k²)+1=(1-18k²)/(1+2k²)
设点T的坐标为(m,n),由于MT⊥NT,故MT•NT=0.
其中MT=(m-x₁,n-y₁);NT=(m-x₂,n-y₂).
MT•NT=(m-x₁)(m-x₂)+(n-y₁)(n-y₂)
=m²-m(x₁+x₂)+x₁x₂+n²-n(y₁+y₂)+y₁y₂
=m²-4mk/(1+2k²)-16/(1+2k²)+n²+2n/(1+2k²)+(1-18k²)/(1+2k²)
=m²+n²+(2n-4mk-18k²-15)/(1+2k²)
=[(m²+n²)(1+2k²)+2n-4mk-18k²-15]/(1+2k²).(1)
由(1)可见:当m=0,n=3时,代入(1)式得:
MT•NT=(9+18k²+6-18k²-15)/(1+2k²)≡0
即存在定点M(0,3)使得关于任意的直线L都有MT⊥NT成立.
实际上,M就是椭圆的上顶点.
b = 3, c = 3, a = 3根号(2)
椭圆方程x^2/18 + y^2/9 = 1
过P点直线方程y = k(x+1)
M,N坐标满足x^2/18 + k^2 (x+1)^2 / 9 = 1