已知实数m>0,直线l:x/2+y=m与椭圆C:x2/4+y2=切于点p.(1)求实数m的值;(2)若与l平行的直线l'与椭圆C交于点A,B,向量PA乘向量PB的最小值.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/02 19:06:07
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已知实数m>0,直线l:x/2+y=m与椭圆C:x2/4+y2=切于点p.(1)求实数m的值;(2)若与l平行的直线l'与椭圆C交于点A,B,向量PA乘向量PB的最小值.
已知实数m>0,直线l:x/2+y=m与椭圆C:x2/4+y2=切于点p.(1)求实数m的值;(2)若与l平行的直线l'与椭圆C交于点A,B,向量PA乘向量PB的最小值.
已知实数m>0,直线l:x/2+y=m与椭圆C:x2/4+y2=切于点p.(1)求实数m的值;(2)若与l平行的直线l'与椭圆C交于点A,B,向量PA乘向量PB的最小值.
1.x2/4+y2=1 x^2+4y^2=4
x/2+y=m x=2m-2y 代入
8y^2-8my+4m^2-4=0
判别式=64m^2-32(4m^2-4)=0
2m^2-4m^2+4=0
m=√2 或m=-√2(舍) 实数m的值=√2
P(√2,√2/2)
2.设l' x+2y+2c=0 c属于(-√2/2,√2/2)
A(x1,y1) B(x2,y2)
x+2y+2c=0
x^2+4y^2=4
8y^2+8cy+4c^2-4=0 y^2+cy+(c^2-1)/2=0
y1+y2=-c y1y2=(c^2-1)/2
x1=-2(y1+c) x2=-2(y2+c)
x1x2=4(y1y2+cy1+cy2+c^2) x1+x2=-2(y1+y2+2c)
向量PA=(x1-√2,y1-√2/2) 向量PB=(x2-√2,y2-√2/2)
向量PA* 向量PB=x1x2-√2(x1+x2)+2+y1y2-√2/2(y1+y2)+1/2
=4[(c^2-1)/2-c^2+c^2]+2√2c+2+(c^2-1)/2-√2c/2+1/2
=5/2(c^2+√2c)
=5/2(c+1/2)^2-5/8 c属于(-√2/2,√2/2)
所以,当c=-1/2时,
向量PA乘向量PB的最小值=-5/8