如图,在三角形ABC中,AM是BC边的中线,AE为BC边上的高,试判断AB^2+AC^2与AM^2+BM^2的关系,并说明理由.那种AM^2是指AM的平方.考的是勾股定理.稍微写详细点,并且最好是只运用到初中范围内学过的知识.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/03 00:42:00
![如图,在三角形ABC中,AM是BC边的中线,AE为BC边上的高,试判断AB^2+AC^2与AM^2+BM^2的关系,并说明理由.那种AM^2是指AM的平方.考的是勾股定理.稍微写详细点,并且最好是只运用到初中范围内学过的知识.](/uploads/image/z/6876047-47-7.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E5%9C%A8%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2ABC%E4%B8%AD%2CAM%E6%98%AFBC%E8%BE%B9%E7%9A%84%E4%B8%AD%E7%BA%BF%2CAE%E4%B8%BABC%E8%BE%B9%E4%B8%8A%E7%9A%84%E9%AB%98%2C%E8%AF%95%E5%88%A4%E6%96%ADAB%5E2%2BAC%5E2%E4%B8%8EAM%5E2%2BBM%5E2%E7%9A%84%E5%85%B3%E7%B3%BB%2C%E5%B9%B6%E8%AF%B4%E6%98%8E%E7%90%86%E7%94%B1.%E9%82%A3%E7%A7%8DAM%5E2%E6%98%AF%E6%8C%87AM%E7%9A%84%E5%B9%B3%E6%96%B9.%E8%80%83%E7%9A%84%E6%98%AF%E5%8B%BE%E8%82%A1%E5%AE%9A%E7%90%86.%E7%A8%8D%E5%BE%AE%E5%86%99%E8%AF%A6%E7%BB%86%E7%82%B9%2C%E5%B9%B6%E4%B8%94%E6%9C%80%E5%A5%BD%E6%98%AF%E5%8F%AA%E8%BF%90%E7%94%A8%E5%88%B0%E5%88%9D%E4%B8%AD%E8%8C%83%E5%9B%B4%E5%86%85%E5%AD%A6%E8%BF%87%E7%9A%84%E7%9F%A5%E8%AF%86.)
如图,在三角形ABC中,AM是BC边的中线,AE为BC边上的高,试判断AB^2+AC^2与AM^2+BM^2的关系,并说明理由.那种AM^2是指AM的平方.考的是勾股定理.稍微写详细点,并且最好是只运用到初中范围内学过的知识.
如图,在三角形ABC中,AM是BC边的中线,AE为BC边上的高,试判断AB^2+AC^2与AM^2+BM^2的关系,并说明理由.
那种AM^2是指AM的平方.考的是勾股定理.稍微写详细点,并且最好是只运用到初中范围内学过的知识.
如图,在三角形ABC中,AM是BC边的中线,AE为BC边上的高,试判断AB^2+AC^2与AM^2+BM^2的关系,并说明理由.那种AM^2是指AM的平方.考的是勾股定理.稍微写详细点,并且最好是只运用到初中范围内学过的知识.
AB^2+AC^2=BE^2+AE^2+CE^2+AE^2=BE^2+CE^2+2AE^2=(BM-EM)^2+(BM+EM)^2+2AE^2
=2BM^2+2EM^2+2AE^2
AM^2+BM^2=EM^2+AE^2+BM^2
两者是二倍关系
关系是:AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)。
证明:因为 AE是BC边上的高,
所以 三角形ABE,三角形ACE,三角形AME都是是直角三角形,
所以 由勾股定理可得:AB^2=AE^2+BE^2 (1)
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关系是:AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)。
证明:因为 AE是BC边上的高,
所以 三角形ABE,三角形ACE,三角形AME都是是直角三角形,
所以 由勾股定理可得:AB^2=AE^2+BE^2 (1)
AC^2=AE^2+CE^2 (2)
AE^2=AM^2--EM^2 (3)
(1)+(2)得: AB^2+AC^2=2AE^2+BE^2+CE^2 (4)
把(3)代入(4)得:AB^2+AC^2=2AM^2--2EM^2+BE^2+CE^2
=2AM^2+(BE^2--EM^2)+(CE^2--EM^2)
=2AM^2+(BE+EM)(BE--EM)+(CE+EM)(CE--EM)
=2AM^2+BM(BE--EM)+CM(CE+EM)
因为 AM是BC边上的中线。
所以 BM=CM, BC=2BM,
所以 AB^2+AC^2=2AM^2+BM(BE--EM+CE+EM)
=2AM^2+BM*(BE+CE)
=2AM^2+BM*BC
=2AM^2+2BM^2
=2(AM^2+BM^2)。
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