椭圆E中心在坐标原点,焦点在x轴上,其离心率e=√ 6/3,过点C(-1,0)的直线l与椭圆E相交于点A,B两点,且向量AC=2向量CB,求用直线l的斜率k(k≠0)表示△OAB的面积.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/28 05:54:24
![椭圆E中心在坐标原点,焦点在x轴上,其离心率e=√ 6/3,过点C(-1,0)的直线l与椭圆E相交于点A,B两点,且向量AC=2向量CB,求用直线l的斜率k(k≠0)表示△OAB的面积.](/uploads/image/z/6862220-44-0.jpg?t=%E6%A4%AD%E5%9C%86E%E4%B8%AD%E5%BF%83%E5%9C%A8%E5%9D%90%E6%A0%87%E5%8E%9F%E7%82%B9%2C%E7%84%A6%E7%82%B9%E5%9C%A8x%E8%BD%B4%E4%B8%8A%2C%E5%85%B6%E7%A6%BB%E5%BF%83%E7%8E%87e%3D%E2%88%9A+6%2F3%2C%E8%BF%87%E7%82%B9C%28-1%2C0%29%E7%9A%84%E7%9B%B4%E7%BA%BFl%E4%B8%8E%E6%A4%AD%E5%9C%86E%E7%9B%B8%E4%BA%A4%E4%BA%8E%E7%82%B9A%2CB%E4%B8%A4%E7%82%B9%2C%E4%B8%94%E5%90%91%E9%87%8FAC%3D2%E5%90%91%E9%87%8FCB%2C%E6%B1%82%E7%94%A8%E7%9B%B4%E7%BA%BFl%E7%9A%84%E6%96%9C%E7%8E%87k%EF%BC%88k%E2%89%A00%EF%BC%89%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E2%96%B3OAB%E7%9A%84%E9%9D%A2%E7%A7%AF.)
椭圆E中心在坐标原点,焦点在x轴上,其离心率e=√ 6/3,过点C(-1,0)的直线l与椭圆E相交于点A,B两点,且向量AC=2向量CB,求用直线l的斜率k(k≠0)表示△OAB的面积.
椭圆E中心在坐标原点,焦点在x轴上,其离心率e=√ 6/3,过点C(-1,0)的直线l与椭圆E相交于点A,B两点,且向量AC=2向量CB,求用直线l的斜率k(k≠0)表示△OAB的面积.
椭圆E中心在坐标原点,焦点在x轴上,其离心率e=√ 6/3,过点C(-1,0)的直线l与椭圆E相交于点A,B两点,且向量AC=2向量CB,求用直线l的斜率k(k≠0)表示△OAB的面积.
由于椭圆的离心率为e=√ 6/3,可以设椭圆的方程为
x^2/9m^2+y^2/3m^2=1,即x^2+3y^2=9m^2
直线的方程为y=k(x+1)
联立两方程得
(1+3k^2)x^2+6k^2x+(3k^2-9m^2)=0
由于直线和椭圆的两个交点必有一个在x轴上方,一个在下方
可以设A在上方
设A(x1,y1) B(x2,y2)
则x1+x2=-6k^2/(1+3k^2)
由于向量AC=2向量CB,故有|y1|=2|y2|,x1+1=2(-1-x2)
即y1=-2y2同时x1+x2=-3-x2
三角形的面积S=1/2x1x|y1|+1/2x1x|y2|=-3y2/2=-3k(x2+1)/2
又由于x1+x2=-3-x2=-6k^2/(1+3k^2),得
x2=-3(1+k^2)/(1+3k^2)
x2+1=-2/((1+3k^2)
从而S=-3k(x2+1)/2
=3k/(1+3k^2)
(说明一下,思路是假定k>0的情况下,如果k
设椭圆长轴长为2a,e=c/a=√ 6/3,c=√ 6a/3,b=√ 3a/3
椭圆方程为:x^2/a^2+3y^2/a^2=1
直线方程为:y=k(x+1)代入椭圆方程得:(3k^2+1)x^2+6k^2x+3k^2-a^2=0
设交点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则:x1+x2=-6k^2/(3k^2+1)
又向量AC=2向量CB,故x1+1=2...
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设椭圆长轴长为2a,e=c/a=√ 6/3,c=√ 6a/3,b=√ 3a/3
椭圆方程为:x^2/a^2+3y^2/a^2=1
直线方程为:y=k(x+1)代入椭圆方程得:(3k^2+1)x^2+6k^2x+3k^2-a^2=0
设交点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则:x1+x2=-6k^2/(3k^2+1)
又向量AC=2向量CB,故x1+1=2(-1-x2),x1=-2x2-3,
x2=-1-2/(3k^2+1),x1-x2=-3x2-3=6/(3k^2+1)
y1-y2=k(x1+1)-k(x2+1)=k(x1-x2)
S△OAB=1/2*|OC|*|Y1-Y2|=1/2*1*6/(3k^2+1)=3k/(3k^2+1)
收起