函数f(x)=ln(x+1)-ax∧2-x,a∈R(1)求f(x)的单调区间 (2)求证:对任意的正整数n,不等式ln(n+1/n)<1/n都成立
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/29 02:50:37
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函数f(x)=ln(x+1)-ax∧2-x,a∈R(1)求f(x)的单调区间 (2)求证:对任意的正整数n,不等式ln(n+1/n)<1/n都成立
函数f(x)=ln(x+1)-ax∧2-x,a∈R
(1)求f(x)的单调区间
(2)求证:对任意的正整数n,不等式ln(n+1/n)<1/n都成立
函数f(x)=ln(x+1)-ax∧2-x,a∈R(1)求f(x)的单调区间 (2)求证:对任意的正整数n,不等式ln(n+1/n)<1/n都成立
第一题挺简单,讨论a的范围.
∵原函数f(x)=ln(x+1)-ax²-x
∴原函数f(x)的定义域为x>-1
且导函数g(x)=1/(x+1)-2ax-1
=[1-2ax(x+1)-(x+1)]/(x+1)
=[﹣2ax²-﹙2a+1﹚x]/(x+1)
①当a=0时g(x)=-x/(x+1)
∴当a=0时,原函数f(x)在 (0,﹢∞)单调递减 (﹣1,0)单调递增.
②当a≠0时g(x)=[﹣2ax²-﹙2a+1﹚x]/(x+1)
∵(x+1)>0
∴原函数f(x)的单调性由h(x)=﹣2ax²-﹙2a+1﹚x 决定﹙x>﹣1﹚
Δ=[-﹙2a+1﹚]²-4×﹙﹣2a)×0=(2a+1)²≥0
∴x1=0,x2=-﹙2a+1﹚/2a=-1-1/2a
下面讨论a大于或小于0的情况
第二题:
设x = 1/n,x∈(0,1]
g(x) = ln(x+1) - x
g'(x) = -x/(x+1),而g'(x)
∵原函数f(x)=ln(x+1)-ax²-x
∴原函数f(x)的定义域为x>-1
且导函数g(x)=1/(x+1)-2ax-1
=[1-2ax(x+1)-(x+1)]/(x+1)
=[﹣2ax²-﹙2a-1...
全部展开
∵原函数f(x)=ln(x+1)-ax²-x
∴原函数f(x)的定义域为x>-1
且导函数g(x)=1/(x+1)-2ax-1
=[1-2ax(x+1)-(x+1)]/(x+1)
=[﹣2ax²-﹙2a-1﹚x]/(x+1)
①当a=0时g(x)=x/(x+1)
∴x (﹣1,0) 0 (0,﹢∞)
g(x) - 0 +
f(x) ↓ ↑
∴当a=0时,原函数f(x)在(﹣1,0) 单调递减 (0,﹢∞)单调递增。
②当a≠0时g(x)=[﹣2ax²-﹙2a-1﹚x]/(x+1)
∵(x+1)>0
∴原函数f(x)的单调性由h(x)=﹣2ax²-﹙2a-1﹚x 决定﹙x>﹣1﹚
Δ=[-﹙2a-1﹚]²-4×﹙﹣2a)×0=(2a-1)²≥0
∴x1=0,x2=-﹙2a-1﹚/2a=-1+1/2a
③当a=½时x1=x2
所以h(x)在x>﹣1内恒小于零,
∴当a=½时,原函数f(x)为单调递减。
④当a<0时,x2<﹣1
∴x (﹣1,0) 0 (0,﹢∞)
h(x) - 0 +
f(x) ↓ ↑
∴当a<0时,原函数f(x)在(﹣1,0) 单调递减 (0,﹢∞)单调递增。
⑤当0<a<½时,x2>0
∴x (﹣1,0) 0 (0,x2) x2 (x2,﹢∞)
h(x) - 0 + 0 -
f(x) ↓ ↑ ↓
当a0<a<½0时,原函数f(x)在(﹣1,0) 单调递减 (0,x2)单调递增(x2,﹢∞)单调递减
⑥ 当a>½时x1>x2
∴x (﹣1,x2) x2 (x2,0) 0 (0,﹢∞)
h(x) - 0 + 0 -
f(x) ↓ ↑ ↓
当a>½时原函数f(x)在(﹣1,x2) 单调递减 (x2,0)单调递增(0,﹢∞)单调递减
∴综上所述:当a≤0时,原函数f(x)在(﹣1,0) 单调递减 (0,﹢∞)单调递增。
当a=½时,原函数f(x)为单调递减。
当a0<a<½0时,原函数f(x)在(﹣1,0) 单调递减 (0,x2)单调递增(x2,﹢∞)单调递减
当a>½时原函数f(x)在(﹣1,x2) 单调递减 (x2,0)单调递增(0,﹢∞)单调递减
(2)
设x = 1/n,x∈(0,1]
g(x) = ln(x+1) - x
g'(x) = -x/(x+1),而g'(x)<0在定义域内恒成立,则g(x)在定义域内递减。
当x→0,g(x)→0,则g(x)的最大值小于0,所以g(x)<0恒成立
即ln(x+1)
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(1)∵原函数f(x)=ln(x+1)-ax²-x
∴原函数f(x)的定义域为x>-1
且导函数g(x)=1/(x+1)-2ax-1
=[1-2ax(x+1)-(x+1)]/(x+1)
=[﹣2ax²-﹙2...
全部展开
(1)∵原函数f(x)=ln(x+1)-ax²-x
∴原函数f(x)的定义域为x>-1
且导函数g(x)=1/(x+1)-2ax-1
=[1-2ax(x+1)-(x+1)]/(x+1)
=[﹣2ax²-﹙2a-1﹚x]/(x+1)
①当a=0时g(x)=x/(x+1)
∴x (﹣1,0) 0 (0,﹢∞)
g(x) - 0 +
f(x) ↓ ↑
∴当a=0时,原函数f(x)在(﹣1,0) 单调递减 (0,﹢∞)单调递增。
②当a≠0时g(x)=[﹣2ax²-﹙2a-1﹚x]/(x+1)
∵(x+1)>0
∴原函数f(x)的单调性由h(x)=﹣2ax²-﹙2a-1﹚x 决定﹙x>﹣1﹚
Δ=[-﹙2a-1﹚]²-4×﹙﹣2a)×0=(2a-1)²≥0
∴x1=0,x2=-﹙2a-1﹚/2a=-1+1/2a
③当a=½时x1=x2
所以h(x)在x>﹣1内恒小于零,
∴当a=½时,原函数f(x)为单调递减。
④当a<0时,x2<﹣1
∴x (﹣1,0) 0 (0,﹢∞)
h(x) - 0 +
f(x) ↓ ↑
∴当a<0时,原函数f(x)在(﹣1,0) 单调递减 (0,﹢∞)单调递增。
⑤当0<a<½时,x2>0
∴x (﹣1,0) 0 (0,x2) x2 (x2,﹢∞)
h(x) - 0 + 0 -
f(x) ↓ ↑ ↓
当a0<a<½0时,原函数f(x)在(﹣1,0) 单调递减 (0,x2)单调递增(x2,﹢∞)单调递减
⑥ 当a>½时x1>x2
∴x (﹣1,x2) x2 (x2,0) 0 (0,﹢∞)
h(x) - 0 + 0 -
f(x) ↓ ↑ ↓
当a>½时原函数f(x)在(﹣1,x2) 单调递减 (x2,0)单调递增(0,﹢∞)单调递减
∴综上所述:当a≤0时,原函数f(x)在(﹣1,0) 单调递减 (0,﹢∞)单调递增。
当a=½时,原函数f(x)为单调递减。
当a0<a<½0时,原函数f(x)在(﹣1,0) 单调递减 (0,x2)单调递增(x2,﹢∞)单调递减
当a>½时原函数f(x)在(﹣1,x2) 单调递减 (x2,0)单调递增(0,﹢∞)单调递减
(2)设x = 1/n,x∈(0,1]
g(x) = ln(x+1) - x
g'(x) =
-x/(x+1),而g'(x)<0在定义域内恒成立,则g(x)在定义域内递减。
当x→0,g(x)→0,则g(x)的最大值小于0,所以g(x)<0恒成立
即ln(x+1)
这是我在静心思考后得出的结论,
如果能帮助到您,希望您不吝赐我一采纳~(满意回答)
如果不能请追问,我会尽全力帮您解决的~
答题不易,如果您有所不满愿意,请谅解~
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