已知数列AN的前N项和SN=A1+A2+A3+…… +AN满足AN+2SNSN-1=0(N大于等于2)a1=1/2.若bn=2(1-n)an(n≥2),求证:b1²+b2²+...+bn²<1an+2Sn*S(n-1)=0
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/29 00:46:59
![已知数列AN的前N项和SN=A1+A2+A3+…… +AN满足AN+2SNSN-1=0(N大于等于2)a1=1/2.若bn=2(1-n)an(n≥2),求证:b1²+b2²+...+bn²<1an+2Sn*S(n-1)=0](/uploads/image/z/650306-2-6.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E6%95%B0%E5%88%97AN%E7%9A%84%E5%89%8DN%E9%A1%B9%E5%92%8CSN%3DA1%2BA2%2BA3%2B%E2%80%A6%E2%80%A6+%2BAN%E6%BB%A1%E8%B6%B3AN%2B2SNSN-1%3D0%28N%E5%A4%A7%E4%BA%8E%E7%AD%89%E4%BA%8E2%29a1%3D1%2F2.%E8%8B%A5bn%3D2%281-n%29an%28n%E2%89%A52%29%2C%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9Ab1%26sup2%3B%2Bb2%26sup2%3B%2B...%2Bbn%26sup2%3B%EF%BC%9C1an%2B2Sn%2AS%28n-1%29%3D0)
已知数列AN的前N项和SN=A1+A2+A3+…… +AN满足AN+2SNSN-1=0(N大于等于2)a1=1/2.若bn=2(1-n)an(n≥2),求证:b1²+b2²+...+bn²<1an+2Sn*S(n-1)=0
已知数列AN的前N项和SN=A1+A2+A3+…… +AN满足AN+2SNSN-1=0(N大于等于2)a1=1/2.
若bn=2(1-n)an(n≥2),求证:b1²+b2²+...+bn²<1
an+2Sn*S(n-1)=0
已知数列AN的前N项和SN=A1+A2+A3+…… +AN满足AN+2SNSN-1=0(N大于等于2)a1=1/2.若bn=2(1-n)an(n≥2),求证:b1²+b2²+...+bn²<1an+2Sn*S(n-1)=0
an+2Sn·S(n-1)=0(n≥2),Sn-S(n-1)=an
所以Sn-S(n-1)+2Sn·S(n-1)=0(n≥2)
两边同时除以Sn·S(n-1),得1/S(n-1)-1/sn+2=0
即 1/sn-1/S(n-1)=2,1/S1=2,{1/Sn}=2n
即 Sn=1/2n
S(n-1)=1/2n-2
相减,an=-1/2n(n-1)
bn=2(n-1)/2n(n-1)=1/n
则要求证1/1+1/2^2+1/3^2.+1/n^2正无穷时为1.
即b1/(1-q)=1,不妨设b1=1/2,q=1/2,则bn=(1/2)^n
只需证2^n>n^2,n
an+2Sn·S(n-1)=0(n≥2),Sn-S(n-1)=an
Sn-S(n-1)+2Sn·S(n-1)=0
1/sn-1/S(n-1)=2 而1/S1=1/a1=2
Sn=1/2n
an=Sn-S(n-1)=1/2n-1/2n-2==-1/2n(n-1)
bn=2(n-1)/2n(n-1)=1/n (n>=2)
当n=1时 b1=0 很...
全部展开
an+2Sn·S(n-1)=0(n≥2),Sn-S(n-1)=an
Sn-S(n-1)+2Sn·S(n-1)=0
1/sn-1/S(n-1)=2 而1/S1=1/a1=2
Sn=1/2n
an=Sn-S(n-1)=1/2n-1/2n-2==-1/2n(n-1)
bn=2(n-1)/2n(n-1)=1/n (n>=2)
当n=1时 b1=0 很显然满足b1^2<1
当n>=2时 b1²+b2²+...+bn²=b2^2+....+bn^2=1/(2*2)+1/(3*3)+...+1/(n*n)
<1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/[(n-1)*n]=1-1/2+1/2-1/3+...+1/(n-1)-1/n
=1-1/n<1 (n>0)
即证
收起