已知向量a=(cosα,sinα),向量b=(cosβ,sinβ),其中0<向量α<向量β<π.若ka+b与a-kb的长度相等求β-α的值(k为非零的常数)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 12:11:18
![已知向量a=(cosα,sinα),向量b=(cosβ,sinβ),其中0<向量α<向量β<π.若ka+b与a-kb的长度相等求β-α的值(k为非零的常数)](/uploads/image/z/5544950-14-0.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%90%91%E9%87%8Fa%3D%EF%BC%88cos%CE%B1%2Csin%CE%B1%EF%BC%89%2C%E5%90%91%E9%87%8Fb%3D%EF%BC%88cos%CE%B2%2Csin%CE%B2%29%2C%E5%85%B6%E4%B8%AD0%EF%BC%9C%E5%90%91%E9%87%8F%CE%B1%EF%BC%9C%E5%90%91%E9%87%8F%CE%B2%EF%BC%9C%CF%80.%E8%8B%A5ka%2Bb%E4%B8%8Ea-kb%E7%9A%84%E9%95%BF%E5%BA%A6%E7%9B%B8%E7%AD%89%E6%B1%82%CE%B2-%CE%B1%E7%9A%84%E5%80%BC%EF%BC%88k%E4%B8%BA%E9%9D%9E%E9%9B%B6%E7%9A%84%E5%B8%B8%E6%95%B0%EF%BC%89)
已知向量a=(cosα,sinα),向量b=(cosβ,sinβ),其中0<向量α<向量β<π.若ka+b与a-kb的长度相等求β-α的值(k为非零的常数)
已知向量a=(cosα,sinα),向量b=(cosβ,sinβ),其中0<向量α<向量β<π.若ka+b与a-kb的长度相等
求β-α的值(k为非零的常数)
已知向量a=(cosα,sinα),向量b=(cosβ,sinβ),其中0<向量α<向量β<π.若ka+b与a-kb的长度相等求β-α的值(k为非零的常数)
∵向量a=(cosα,sinα),向量b=(cosβ,sinβ)
∴|向量a|=√[(cosα)^2+(sinα)^2]=1
|向量b|=√[(cosβ)^2+(sinβ)^2]=1
向量a*向量b=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)=cos(β-α)
∴|k向量a+向量b|
=√[|k向量a+向量b|^2
=√(|k向量a|^2+2k向量a*向量b+|向量b|^2)
=√(k^2*|向量a|^2+2k向量a*向量b+|向量b|^2)
=√[k^2+1+2kcos(β-α)]
|向量a-k向量b|
=√[|向量a-k向量b|^2
=√(|向量a|^2-2k向量a*向量b+|k向量b|^2)
=√(|向量a|^2-2k向量a*向量b+k^2*|向量b|^2)
=√[1+k^2-2kcos(β-α)]
∵k向量a+向量b与向量a-k向量b的长度相等
∴|k向量a+向量b|=|向量a-k向量b|
∴√[k^2+1+2kcos(β-α)]=√[1+k^2-2kcos(β-α)]
∴k^2+1+2kcos(β-α)=1+k^2-2kcos(β-α)
∴2kcos(β-α)=-2kcos(β-α)
∴4kcos(β-α)=0
∵k≠0
∴cos(β-α)=0
∵0