直线y-ax-1=0和双曲线3x²-y²=1相交于A、B两点.(1)当a为何值时,以AB为直径的圆过原点.(2)是否存在这样的实数a,使得两交点A、B关于y=x对称.若存在,求出a;若不存在,说明理由.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/28 09:58:57
![直线y-ax-1=0和双曲线3x²-y²=1相交于A、B两点.(1)当a为何值时,以AB为直径的圆过原点.(2)是否存在这样的实数a,使得两交点A、B关于y=x对称.若存在,求出a;若不存在,说明理由.](/uploads/image/z/5249008-64-8.jpg?t=%E7%9B%B4%E7%BA%BFy-ax-1%3D0%E5%92%8C%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E7%BA%BF3x%26%23178%3B-y%26%23178%3B%3D1%E7%9B%B8%E4%BA%A4%E4%BA%8EA%E3%80%81B%E4%B8%A4%E7%82%B9.%EF%BC%881%EF%BC%89%E5%BD%93a%E4%B8%BA%E4%BD%95%E5%80%BC%E6%97%B6%2C%E4%BB%A5AB%E4%B8%BA%E7%9B%B4%E5%BE%84%E7%9A%84%E5%9C%86%E8%BF%87%E5%8E%9F%E7%82%B9.%EF%BC%882%EF%BC%89%E6%98%AF%E5%90%A6%E5%AD%98%E5%9C%A8%E8%BF%99%E6%A0%B7%E7%9A%84%E5%AE%9E%E6%95%B0a%2C%E4%BD%BF%E5%BE%97%E4%B8%A4%E4%BA%A4%E7%82%B9A%E3%80%81B%E5%85%B3%E4%BA%8Ey%3Dx%E5%AF%B9%E7%A7%B0.%E8%8B%A5%E5%AD%98%E5%9C%A8%2C%E6%B1%82%E5%87%BAa%EF%BC%9B%E8%8B%A5%E4%B8%8D%E5%AD%98%E5%9C%A8%2C%E8%AF%B4%E6%98%8E%E7%90%86%E7%94%B1.)
直线y-ax-1=0和双曲线3x²-y²=1相交于A、B两点.(1)当a为何值时,以AB为直径的圆过原点.(2)是否存在这样的实数a,使得两交点A、B关于y=x对称.若存在,求出a;若不存在,说明理由.
直线y-ax-1=0和双曲线3x²-y²=1相交于A、B两点.(1)当a为何值时,以AB为直径的圆过原点.(2)是否存在这样的实数a,使得两交点A、B关于y=x对称.若存在,求出a;若不存在,说明理由.
直线y-ax-1=0和双曲线3x²-y²=1相交于A、B两点.(1)当a为何值时,以AB为直径的圆过原点.(2)是否存在这样的实数a,使得两交点A、B关于y=x对称.若存在,求出a;若不存在,说明理由.
见图
(1)联立方程ax+1=y与3x2-y2=1,消去y得:(3-a2)x2-2ax-2=0(*)
又直线与双曲线相交于A,B两点,3-a2≠0,所以a≠± 3 ,∴△>0⇒- 6 <a< 6 .
又依题OA⊥OB,令A,B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则y1y2=-x1x2.
且y1y2=(ax1+1)(ax2+1)=a2x1x2+a(x1+x2)...
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(1)联立方程ax+1=y与3x2-y2=1,消去y得:(3-a2)x2-2ax-2=0(*)
又直线与双曲线相交于A,B两点,3-a2≠0,所以a≠± 3 ,∴△>0⇒- 6 <a< 6 .
又依题OA⊥OB,令A,B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则y1y2=-x1x2.
且y1y2=(ax1+1)(ax2+1)=a2x1x2+a(x1+x2)+1=-x1x2⇒x1x2(1+a2)+a(x1+x2)+1=0,而由方程(*)知:x1+x2=2a 3-a2 ,x1x2=2 a2-3 代入上式得-2(a1+1) 3-a2 +2a2 3-a2 +1=0⇒a2=1⇒a=±1.满足条件.
(2)假设这样的点A,B存在,则l:y=ax+1斜率a=-2.又AB中点(x1+x2 2 ,y1+y2 2 )在y=1 2 x上,则y1+y2=1 2 (x1+x2),
又y1+y2=a(x1+x2)+2,
代入上式知 2a(x1+x2)+4=x1+x2 又x1+x2=2a 3-a2 ⇒a=6这与a=-2矛盾.
故这样的实数a不存在.
收起
两式连列求出关于a的解析式两式相反就可以求出a。。