已知a>0且a≠1,f(x)=loga(ax-根号x).当a>1时,判断函数f(x)的单调性,并用函数单调性的定义证明你的结论
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/03 22:18:02
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已知a>0且a≠1,f(x)=loga(ax-根号x).当a>1时,判断函数f(x)的单调性,并用函数单调性的定义证明你的结论
已知a>0且a≠1,f(x)=loga(ax-根号x).当a>1时,判断函数f(x)的单调性,并用函数单调性的定义证明你的结论
已知a>0且a≠1,f(x)=loga(ax-根号x).当a>1时,判断函数f(x)的单调性,并用函数单调性的定义证明你的结论
单调递增.设x1>x2>1/a平方,
则f(x1)-f(x2)=loga((ax1-√x1)/(ax2-√x2))
=loga(1+(ax1-√x1-ax2+√x2)/(ax2-√x2))
而ax1-√x1-ax2+√x2=a(√x1+x2)(√x1-√x2)-(√x1-√x2)
=(√x1-√x2)(a√x1+a√x2-1)
>(√x1-√x2)(a*√(1/a的平方)-a√(1/a的平方)-1)
=(√x1-√x2)(a*1/a+a*1/a-1)
=√x1-√x2>0(因为x1>x2>1/a平方)
故ax1-√x1-ax2+√x2>0,即1+(ax1-√x1-ax2+√x2)/(ax2-√x2)>1,
也即f(x1)-f(x2)>0,而x1>x2,a>1
所以f(x)单调递增,证毕!(√是根号)
令t=根号x(t≥0),则f(x)=loga(at²-t)
根据对数定义,有
at²-t>0,由于a>1,故
t(at-1)>0,得t>1/a
令g(t)=at²-t (t>1/a),则
g(t)导数 g'(t)=2at-1
由于t>1/a,故2at>2, 2at-1>1,即
g'(t)>0,故g(t)在定义域...
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令t=根号x(t≥0),则f(x)=loga(at²-t)
根据对数定义,有
at²-t>0,由于a>1,故
t(at-1)>0,得t>1/a
令g(t)=at²-t (t>1/a),则
g(t)导数 g'(t)=2at-1
由于t>1/a,故2at>2, 2at-1>1,即
g'(t)>0,故g(t)在定义域上单调递增,
又a>1,故 loga(g(t))在定义域上单调递增,
即a>1时,f(x)在定义域上单调递增
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