椭圆 (9 12:22:51)已知椭圆x2/16+y2/4=1和点M(1,1),求以点M为中点的弦MN所在的直线方程.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 10:31:32
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椭圆 (9 12:22:51)已知椭圆x2/16+y2/4=1和点M(1,1),求以点M为中点的弦MN所在的直线方程.
椭圆 (9 12:22:51)
已知椭圆x2/16+y2/4=1和点M(1,1),求以点M为中点的弦MN所在的直线方程.
椭圆 (9 12:22:51)已知椭圆x2/16+y2/4=1和点M(1,1),求以点M为中点的弦MN所在的直线方程.
直线与椭圆相交P,Q
p(x1,y1),Q(X2,Y2),
因为M(1,1)为中点
所以X1+X2=2*1=2,Y1+Y2=2*1=2
x2/16+y2/4=1,x^2+4y^2=16
x1^2+4y1^2=16,x2^2+4y2^2=16
(x1^2-x2^2)+4(y1^2-y2^2)=0
(y1-y2)/(x1-x2)=-(x1+x2)/[4(y1+y2)]=-1/4
所以PQ斜率K=(y1-y2)/(x1-x2)=-1/4
过M(1,1)
直线方程:x+4y-5=0
设M(x1,y1)
N(x2,y2)
故有:x1+x2=2
y1+y2=2
同时有:x1^2+4y1^2=16
x2^2+4y2^2=16
两式相减:(x1-x2)(x1+x2)+4(y1-y2)(y1+y2)=0
即2(x1+x2)+8(y1-y2)=0
(y1-y2)/(x1-x2)=-1/4
即斜率为-1/4
方程为:y=-1/4(x-1)+1=-1/4x+5/4
若弦⊥x轴,根据椭圆对称性知中点必在x轴上,不合题意
所以设y=k(x-1)+1=kx+1-k
与椭圆方程联立整理得
(1+4k²)x²+8(k-k²)x+4(1-k)²-16=0
设两个交点为(x1,y1)(x2,y2)
则x1+x2=-8(k-k²)/(1+4k²)=2
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若弦⊥x轴,根据椭圆对称性知中点必在x轴上,不合题意
所以设y=k(x-1)+1=kx+1-k
与椭圆方程联立整理得
(1+4k²)x²+8(k-k²)x+4(1-k)²-16=0
设两个交点为(x1,y1)(x2,y2)
则x1+x2=-8(k-k²)/(1+4k²)=2
4k²-4k=4k²+1
k=-1/4
∴解析式为y=-x/4+1-(-1/4)=-x/4+5/4
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