在△ABC中,AB=AC,AD是中线,P是AD上一点,过C点作CF‖AB,延长BP交AC于E,交AC于F,探究PB、PE、PF有怎样的比例关系?并加以证明.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 03:29:04
![在△ABC中,AB=AC,AD是中线,P是AD上一点,过C点作CF‖AB,延长BP交AC于E,交AC于F,探究PB、PE、PF有怎样的比例关系?并加以证明.](/uploads/image/z/3849337-1-7.jpg?t=%E5%9C%A8%E2%96%B3ABC%E4%B8%AD%2CAB%3DAC%2CAD%E6%98%AF%E4%B8%AD%E7%BA%BF%2CP%E6%98%AFAD%E4%B8%8A%E4%B8%80%E7%82%B9%2C%E8%BF%87C%E7%82%B9%E4%BD%9CCF%E2%80%96AB%2C%E5%BB%B6%E9%95%BFBP%E4%BA%A4AC%E4%BA%8EE%2C%E4%BA%A4AC%E4%BA%8EF%2C%E6%8E%A2%E7%A9%B6PB%E3%80%81PE%E3%80%81PF%E6%9C%89%E6%80%8E%E6%A0%B7%E7%9A%84%E6%AF%94%E4%BE%8B%E5%85%B3%E7%B3%BB%3F%E5%B9%B6%E5%8A%A0%E4%BB%A5%E8%AF%81%E6%98%8E.)
在△ABC中,AB=AC,AD是中线,P是AD上一点,过C点作CF‖AB,延长BP交AC于E,交AC于F,探究PB、PE、PF有怎样的比例关系?并加以证明.
在△ABC中,AB=AC,AD是中线,P是AD上一点,过C点作CF‖AB,延长BP交AC于E,交AC于F,探究PB、PE、PF有怎样的比例关系?并加以证明.
在△ABC中,AB=AC,AD是中线,P是AD上一点,过C点作CF‖AB,延长BP交AC于E,交AC于F,探究PB、PE、PF有怎样的比例关系?并加以证明.
在△ABC中,AB=AC 说明是等腰三角形 AD既是中线也是角平分线
在△ABE中,运用角平分线定理:AB/AE=PB/PE ①
AB//CF 很显然△ABE相似于△CFE 那么有:CE/EA=EF/BE ②
②式两边同时加1:CE/EA+1=EF/BE+1=>AC/AE=BF/BE ③
由于AB=AC 所以由①③式:
AB/AE=PB/PE=BF/BE=(PB+PF)/(PB+PE) ④
所以PB、PE、PF之间的比例关系就是如④所示
PB/PE=(PB+PF)/(PB+PE)
连接CP。
因为 AB=AC,AD是中线,由等腰三角形三线合一的性质可得,AD⊥BC,
即 AD是BC是中垂线。则 BP=CP.
又由AB=AC,BP=CP 可得 ∠ABC=∠ACB,∠PBC=∠PCB,
所以 ∠ABP=∠ACP .
由 CF‖AB 可得 ∠F=∠ABP,
所以 ∠ACP=∠F,又∠CPE是公共角
所以 △PCE∽△PFC<...
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连接CP。
因为 AB=AC,AD是中线,由等腰三角形三线合一的性质可得,AD⊥BC,
即 AD是BC是中垂线。则 BP=CP.
又由AB=AC,BP=CP 可得 ∠ABC=∠ACB,∠PBC=∠PCB,
所以 ∠ABP=∠ACP .
由 CF‖AB 可得 ∠F=∠ABP,
所以 ∠ACP=∠F,又∠CPE是公共角
所以 △PCE∽△PFC
则 PC:PF = PE:PC 所以 PC^ = PE × PF即 PB^ = PE × PF
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