已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),椭圆上存在一点P,使角F1PF2=120°,求椭圆的离心率的范围
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/01 08:12:16
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已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),椭圆上存在一点P,使角F1PF2=120°,求椭圆的离心率的范围
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),椭圆上存在一点P,使角F1PF2=120°,求椭圆的离心率的范围
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),椭圆上存在一点P,使角F1PF2=120°,求椭圆的离心率的范围
设P为(m,n),则PF1=a+em ,PF2=a-em
因为(2c)^2 = (a+em)^2+(a-em)^2-2(a+em)(a-em)*cos120° (余弦定理)
所以4c^2 = 2a^2 + 2(em)^2 -a^2+(em)^2
即4c^2 =3a^2 +(em)^2
因为m^2<a^2
所以4c^2<3a^2 +e^2*a^2 ,即4e^2≤3+e^4
解得:e^2<1 ,0<e<1 (椭圆的离心率没其它限制)
根号3*b^2,则该椭圆的离心率范围是 已知椭圆x /a +b ,则该椭圆的离心率范围是
设,P(x1,y1),F1(-c,0),F2(c,0),c>0,
则|PF1|=a+ex1,|PF2|=a-ex1.
在△PF1F2中,由余弦定理得 cos120°=-12=(a+ex1)2+(a-ex1)2-4c22(a+ex1)(a-ex1),
解得 x12=4c2-3a2e2.
∵x12∈(0,a2],
∴ 0≤4c2-3a2e2<a2,
...
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设,P(x1,y1),F1(-c,0),F2(c,0),c>0,
则|PF1|=a+ex1,|PF2|=a-ex1.
在△PF1F2中,由余弦定理得 cos120°=-12=(a+ex1)2+(a-ex1)2-4c22(a+ex1)(a-ex1),
解得 x12=4c2-3a2e2.
∵x12∈(0,a2],
∴ 0≤4c2-3a2e2<a2,
即4c2-3a2≥0.且e2<1
∴ e=ca≥32.
故椭圆离心率的取范围是 e∈[32,1).
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