如图,点P为等腰三角形ABC底边BC上的任意一点,PE垂直AB于点E,PF垂直AC于F,BH是等腰三角形AC边上的高.猜想:PE,PF和BH间具有怎样的数量关系,并说明理由.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/02 12:58:04
![如图,点P为等腰三角形ABC底边BC上的任意一点,PE垂直AB于点E,PF垂直AC于F,BH是等腰三角形AC边上的高.猜想:PE,PF和BH间具有怎样的数量关系,并说明理由.](/uploads/image/z/3577803-51-3.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E7%82%B9P%E4%B8%BA%E7%AD%89%E8%85%B0%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2ABC%E5%BA%95%E8%BE%B9BC%E4%B8%8A%E7%9A%84%E4%BB%BB%E6%84%8F%E4%B8%80%E7%82%B9%2CPE%E5%9E%82%E7%9B%B4AB%E4%BA%8E%E7%82%B9E%2CPF%E5%9E%82%E7%9B%B4AC%E4%BA%8EF%2CBH%E6%98%AF%E7%AD%89%E8%85%B0%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2AC%E8%BE%B9%E4%B8%8A%E7%9A%84%E9%AB%98.%E7%8C%9C%E6%83%B3%3APE%2CPF%E5%92%8CBH%E9%97%B4%E5%85%B7%E6%9C%89%E6%80%8E%E6%A0%B7%E7%9A%84%E6%95%B0%E9%87%8F%E5%85%B3%E7%B3%BB%2C%E5%B9%B6%E8%AF%B4%E6%98%8E%E7%90%86%E7%94%B1.)
如图,点P为等腰三角形ABC底边BC上的任意一点,PE垂直AB于点E,PF垂直AC于F,BH是等腰三角形AC边上的高.猜想:PE,PF和BH间具有怎样的数量关系,并说明理由.
如图,点P为等腰三角形ABC底边BC上的任意一点,PE垂直AB于点E,PF垂直AC于F,BH是等腰三角形AC边上的高.
猜想:PE,PF和BH间具有怎样的数量关系,并说明理由.
如图,点P为等腰三角形ABC底边BC上的任意一点,PE垂直AB于点E,PF垂直AC于F,BH是等腰三角形AC边上的高.猜想:PE,PF和BH间具有怎样的数量关系,并说明理由.
答:PE+PF=BH.
证明:过P作PG⊥BH于G点.
∵PG⊥BH,PF⊥AC,BH为AC边上高.
∴∠PFH=∠PGH=∠GHF=90°,∴四边形PGHF为矩形.
∴PF=GH,PG//AC.
∵AB=AC,∴∠EBP=∠C.
∵PG//AC,∴∠GPB=∠C.
∵∠EBP=∠C,∠GPB=∠C.∴∠GPB=∠EBP.
∵PE⊥AB.∴∠BGP=∠PEB=90°.
在△GPB和△EBP中,∠GPB=∠EBP,∠BGP=∠PEB=90°,BP=PB.
∴△GPB≌△EBP(AAS),∴BG=PE.
∵PF=GH,BG=PE,BH=BG+GH,∴PE+PF=BH
PE+PF=BH
证明:
因为等腰三角形
所以角ABC=角C
角PEB=角PFC=90°
所以三角形PEB相似于三角形PFC
所以PE/PF=BP/PC (1)
因为PF//BH
所以PF/BH=PC/BC (2)
根据等式(1)*(2)
PE/BH=BP/BC=(BC-PC)/BC=1-PF/BH
=>BH=PE+PF
PE+PF=BH
过P作PD∥AC,且交AB与D、交BH与G
那么△DBP为等腰三角形,切BG⊥PD,则BG=PE
而四边形PGHF则是一个长方形,可得PF=GH
综上可得PE+PF=BG+GH=BH