全等三角形问题~如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线,过点C作CF⊥AE,垂足为F,过点B作BD⊥BC交CF的延长线于D.(1)求证AE=CD(2)若AC=12cm,求BD之长
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 10:50:36
![全等三角形问题~如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线,过点C作CF⊥AE,垂足为F,过点B作BD⊥BC交CF的延长线于D.(1)求证AE=CD(2)若AC=12cm,求BD之长](/uploads/image/z/3170584-64-4.jpg?t=%E5%85%A8%E7%AD%89%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E9%97%AE%E9%A2%98%7E%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E5%9C%A8%E2%96%B3ABC%E4%B8%AD%2C%E2%88%A0ACB%3D90%C2%B0%2CAC%3DBC%2CAE%E6%98%AFBC%E8%BE%B9%E4%B8%8A%E7%9A%84%E4%B8%AD%E7%BA%BF%2C%E8%BF%87%E7%82%B9C%E4%BD%9CCF%E2%8A%A5AE%2C%E5%9E%82%E8%B6%B3%E4%B8%BAF%2C%E8%BF%87%E7%82%B9B%E4%BD%9CBD%E2%8A%A5BC%E4%BA%A4CF%E7%9A%84%E5%BB%B6%E9%95%BF%E7%BA%BF%E4%BA%8ED.%EF%BC%881%EF%BC%89%E6%B1%82%E8%AF%81AE%3DCD%EF%BC%882%EF%BC%89%E8%8B%A5AC%3D12cm%2C%E6%B1%82BD%E4%B9%8B%E9%95%BF)
全等三角形问题~如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线,过点C作CF⊥AE,垂足为F,过点B作BD⊥BC交CF的延长线于D.(1)求证AE=CD(2)若AC=12cm,求BD之长
全等三角形问题~
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线,过点C作CF⊥AE,垂足为F,过点B作BD⊥BC交CF的延长线于D.
(1)求证AE=CD
(2)若AC=12cm,求BD之长
全等三角形问题~如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线,过点C作CF⊥AE,垂足为F,过点B作BD⊥BC交CF的延长线于D.(1)求证AE=CD(2)若AC=12cm,求BD之长
这道题目有两种情况:分锐角三角形和钝角三角形.
当△ABC是锐角三角形时,
∵AD⊥BC BE⊥AC
∴∠BEC=∠ADC=∠BDH=90°
又∵∠ACD=∠BCE
∴∠CAD=∠CBE(等角的余角相等)
∵∠BDA=90° BH=AC
∴△ADC≌△BDH(AAS)
∴BD=AD(全等三角形的对应边相等)
∴∠ABC=∠BAD(等边对等角)
又∵∠BDA=90°
∴∠ABC=45°
当△ABC是钝角三角形时,
∵AD⊥BC BE⊥AC
又∵∠DBH=∠CBE
∴∠C=∠H(等角的余角相等)
又∵ BH=AC
∴△BDH≌△ADC(AAS)
∴BD=AD(全等三角形的对应边相等)
∴∠ABD=∠BAD(等边对等角)
又∵∠BDA=90°
∴∠ABD=45°
∴∠CBA=135°
综上所述,∠ABC=45° 或∠ABC=135° .
一看题目肯定就是证△DBC 全等 △ECA
∠ACE=∠DBC=90°
AC=BC
所以现在只需找一边或者一角就行了。
又因为CF⊥AE,∠CFE=∠ACE=90°
∠EFC=∠AEC,
所以△EFC相似于△CEA,
所以有∠ECF=∠EAC=∠DCB
所以△DBC 全等 △ECA
下面的不难证了吧...
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一看题目肯定就是证△DBC 全等 △ECA
∠ACE=∠DBC=90°
AC=BC
所以现在只需找一边或者一角就行了。
又因为CF⊥AE,∠CFE=∠ACE=90°
∠EFC=∠AEC,
所以△EFC相似于△CEA,
所以有∠ECF=∠EAC=∠DCB
所以△DBC 全等 △ECA
下面的不难证了吧
收起
(1)∵AC=BC ∠ACF+∠FCA=90° ∠FCE+∠CEF=90° ∴∠ACF=∠CEF ∴∠CAE=FCE=∠DCB 在ΔACE 与 ΔCBD中∠CAD=∠DCB ∠DBC=∠ECA AC=BC 所以ΔACE≡ΔDCB ∴AE=CD
(2)∵AC=12 ∴BC=12=2BE=2EC ∴BD=6(这是源于问题一的结论)
⑴∵DB⊥BC,CF⊥EF, ∠FCE=∠DCB∴∠D=∠FEC
又AC⊥BC,AC=BC,∴⊿BDC≌⊿CEA,∴AE=CD
⑵AC=BC=12cm,由全等得BD=CE=½BC=6cm
在△ACE和△DBC中
∠DBC=∠ACE=90
∠DBC=∠EAC(这两个角加上角DCA都等于90度)
AC=BC
所以△ACE和△DBC全等
DB=CE
因为AC=BC,E是BC中点,所以DB=6