设函数f(x)=x3+2ax2+bx+a,g(x)=x2-3x+2,其中x∈R,a、b为常数,已知曲线y=f(x)与y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线l.(I) 求a、b的值,并写出切线l的方程;(II)若方程f(x)+g(x)=mx有三个互
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/28 11:10:16
![设函数f(x)=x3+2ax2+bx+a,g(x)=x2-3x+2,其中x∈R,a、b为常数,已知曲线y=f(x)与y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线l.(I) 求a、b的值,并写出切线l的方程;(II)若方程f(x)+g(x)=mx有三个互](/uploads/image/z/3017018-2-8.jpg?t=%E8%AE%BE%E5%87%BD%E6%95%B0f%EF%BC%88x%EF%BC%89%3Dx3%2B2ax2%2Bbx%2Ba%2Cg%EF%BC%88x%EF%BC%89%3Dx2-3x%2B2%2C%E5%85%B6%E4%B8%ADx%E2%88%88R%2Ca%E3%80%81b%E4%B8%BA%E5%B8%B8%E6%95%B0%2C%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E6%9B%B2%E7%BA%BFy%3Df%EF%BC%88x%EF%BC%89%E4%B8%8Ey%3Dg%EF%BC%88x%EF%BC%89%E5%9C%A8%E7%82%B9%EF%BC%882%2C0%EF%BC%89%E5%A4%84%E6%9C%89%E7%9B%B8%E5%90%8C%E7%9A%84%E5%88%87%E7%BA%BFl%EF%BC%8E%EF%BC%88I%EF%BC%89+%E6%B1%82a%E3%80%81b%E7%9A%84%E5%80%BC%2C%E5%B9%B6%E5%86%99%E5%87%BA%E5%88%87%E7%BA%BFl%E7%9A%84%E6%96%B9%E7%A8%8B%EF%BC%9B%EF%BC%88II%EF%BC%89%E8%8B%A5%E6%96%B9%E7%A8%8Bf%EF%BC%88x%EF%BC%89%2Bg%EF%BC%88x%EF%BC%89%3Dmx%E6%9C%89%E4%B8%89%E4%B8%AA%E4%BA%92)
设函数f(x)=x3+2ax2+bx+a,g(x)=x2-3x+2,其中x∈R,a、b为常数,已知曲线y=f(x)与y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线l.(I) 求a、b的值,并写出切线l的方程;(II)若方程f(x)+g(x)=mx有三个互
设函数f(x)=x3+2ax2+bx+a,g(x)=x2-3x+2,其中x∈R,a、b为常数,已知曲线y=f(x)与y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线l.
(I) 求a、b的值,并写出切线l的方程;
(II)若方程f(x)+g(x)=mx有三个互不相同的实根0、x1、x2,其中x1<x2,且对任意的x∈[x1,x2],f(x)+g(x)<m(x-1)恒成立,求实数m的取值范围.
设函数f(x)=x3+2ax2+bx+a,g(x)=x2-3x+2,其中x∈R,a、b为常数,已知曲线y=f(x)与y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线l.(I) 求a、b的值,并写出切线l的方程;(II)若方程f(x)+g(x)=mx有三个互
(I) f'(x)=3x2+4ax+b,g'(x)=2x-3.
由于曲线y=f(x)与y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线l.
故有f(2)=g(2)=0,f'(2)=g'(2)=1.
由此得 {8+8a+2b+a=012+8a+b=1,解得 {a=-2b=5,
所以a=-2,b=5..切线的方程为x-y-2=0.
(II)由(I)得f(x)=x3-4x2+5x-2,所以f(x)+g(x)=x3-3x2+2x.
依题意,方程x(x2-3x+2-m)=0,有三个互不相等的实根0,x1,x2,
故x1,x2是x2-3x+2-m=0的两相异实根.
所以△=9-4(2-m)>0,解得m>- 14.
又对任意的x∈[x1,x2],f(x)+g(x)<m(x-1)恒成立,
特别地取x=x1时,f(x1)+g(x1)<m(x1-1)成立,得m<0.
由韦达定理得x1+x2=3>0,x1x2=2-m>0.故0<x1<x2.
对任意的x∈[x1,x2],x-x2≤0,x-x1≥0,x>0.
则f(x)+g(x)-mx=x(x-x1)(x-x2)≤0,又f(x1)+g(x1)-mx1=0.
所以f(x)+g(x)-mx在x∈[x1,x2]上的最大值为0.
于是当m<0,对任意的x∈[x1,x2],f(x)+g(x)<m(x-1)恒成立,
综上得:实数m的取值范围是(- 14,0).