请问函数 y = tan x / ( 1 + tan² x ) 的值域?请运用高一上学期学的知识,譬如请不要使用均值不等式或求导公式.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/28 10:51:46
![请问函数 y = tan x / ( 1 + tan² x ) 的值域?请运用高一上学期学的知识,譬如请不要使用均值不等式或求导公式.](/uploads/image/z/3003196-4-6.jpg?t=%E8%AF%B7%E9%97%AE%E5%87%BD%E6%95%B0+y+%3D+tan+x+%2F+%28+1+%2B+tan%26%23178%3B+x+%29+%E7%9A%84%E5%80%BC%E5%9F%9F%3F%E8%AF%B7%E8%BF%90%E7%94%A8%E9%AB%98%E4%B8%80%E4%B8%8A%E5%AD%A6%E6%9C%9F%E5%AD%A6%E7%9A%84%E7%9F%A5%E8%AF%86%2C%E8%AD%AC%E5%A6%82%E8%AF%B7%E4%B8%8D%E8%A6%81%E4%BD%BF%E7%94%A8%E5%9D%87%E5%80%BC%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F%E6%88%96%E6%B1%82%E5%AF%BC%E5%85%AC%E5%BC%8F.)
请问函数 y = tan x / ( 1 + tan² x ) 的值域?请运用高一上学期学的知识,譬如请不要使用均值不等式或求导公式.
请问函数 y = tan x / ( 1 + tan² x ) 的值域?
请运用高一上学期学的知识,
譬如请不要使用均值不等式或求导公式.
请问函数 y = tan x / ( 1 + tan² x ) 的值域?请运用高一上学期学的知识,譬如请不要使用均值不等式或求导公式.
.就这样
y = tan x / ( 1 + tan² x )
=tanx/sec^2x
=tanx*cos^2x
=sinx*cosx
=1/2sin(2x)
根据正弦函数的性质得
-1/2≤y≤1/2
y = tanx/(1+tan²x) =tanx/sec²x = tanx*cos²x = sinx*cosx = sin2x/2
如果x的定义域在R上,或者定义区间至少覆盖π个长度,那么y的值域为(-1/2,1/2)
x的其他情况另需讨论。
不妨设t=tanx,tanx∈(-∞,+∞)
∴y = tan x / ( 1 + tan² x )
=t/(1+t²)
对y求导,得
y'=(1+t²-2t²)/(1+t²)²
令y'=0,可得
1-t²=0
=>t=±1,即t=±1时该函数取得极大(极小)值...
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不妨设t=tanx,tanx∈(-∞,+∞)
∴y = tan x / ( 1 + tan² x )
=t/(1+t²)
对y求导,得
y'=(1+t²-2t²)/(1+t²)²
令y'=0,可得
1-t²=0
=>t=±1,即t=±1时该函数取得极大(极小)值。
t=1时,y=1/2; t=-1时,y=-1/2
又∵tanx∈(-∞,+∞),故该函数值域为[-1/2,1/2]。
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原题 这样看题目有点乱