设A为4阶方阵,其伴随矩阵的特征值为1,-2,-4,-8,证明A与对角矩阵相似,并写出对角矩阵的一种情况.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 15:13:19
![设A为4阶方阵,其伴随矩阵的特征值为1,-2,-4,-8,证明A与对角矩阵相似,并写出对角矩阵的一种情况.](/uploads/image/z/2651010-42-0.jpg?t=%E8%AE%BEA%E4%B8%BA4%E9%98%B6%E6%96%B9%E9%98%B5%2C%E5%85%B6%E4%BC%B4%E9%9A%8F%E7%9F%A9%E9%98%B5%E7%9A%84%E7%89%B9%E5%BE%81%E5%80%BC%E4%B8%BA1%2C-2%2C-4%2C-8%2C%E8%AF%81%E6%98%8EA%E4%B8%8E%E5%AF%B9%E8%A7%92%E7%9F%A9%E9%98%B5%E7%9B%B8%E4%BC%BC%2C%E5%B9%B6%E5%86%99%E5%87%BA%E5%AF%B9%E8%A7%92%E7%9F%A9%E9%98%B5%E7%9A%84%E4%B8%80%E7%A7%8D%E6%83%85%E5%86%B5.)
设A为4阶方阵,其伴随矩阵的特征值为1,-2,-4,-8,证明A与对角矩阵相似,并写出对角矩阵的一种情况.
设A为4阶方阵,其伴随矩阵的特征值为1,-2,-4,-8,证明A与对角矩阵相似,并写出对角矩阵的一种情况.
设A为4阶方阵,其伴随矩阵的特征值为1,-2,-4,-8,证明A与对角矩阵相似,并写出对角矩阵的一种情况.
由于|A*|=1*(-2)*(-4)*(-8)=-64≠0,则A*可逆
AA*=|A|E,得|AA*|=| |A|E |=|A|^4*|E|=|A|^4,因此|A*|=|A|^3,可得|A|=-4
AA*=|A|E,则A=|A|(A*)^(-1),(A*)^(-1)的特征值为1,-1/2,-1/4,-1/8
则A的特征值为-4,2,1,1/2,(就是将(A*)^(-1)的特征值都乘以-4即可)
因此A有4个不同的特征值,则每个特征值均可求出一个特征向量,
因此A有4个线性无关的特征向量,因此A可对角化.
对角矩阵为(-4,2,1,1/2),这是对角线无素,其余元素为0