设x1>0,Xn+1=1/2(Xn+1/Xn)(n=1,2,3.n),证明数列极限Xn n趋向无穷存在 并且求极限值好的加分
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/01 04:49:14
![设x1>0,Xn+1=1/2(Xn+1/Xn)(n=1,2,3.n),证明数列极限Xn n趋向无穷存在 并且求极限值好的加分](/uploads/image/z/2559221-53-1.jpg?t=%E8%AE%BEx1%3E0%2CXn%2B1%3D1%2F2%EF%BC%88Xn%2B1%2FXn%EF%BC%89%EF%BC%88n%3D1%2C2%2C3.n%EF%BC%89%2C%E8%AF%81%E6%98%8E%E6%95%B0%E5%88%97%E6%9E%81%E9%99%90Xn+n%E8%B6%8B%E5%90%91%E6%97%A0%E7%A9%B7%E5%AD%98%E5%9C%A8+%E5%B9%B6%E4%B8%94%E6%B1%82%E6%9E%81%E9%99%90%E5%80%BC%E5%A5%BD%E7%9A%84%E5%8A%A0%E5%88%86)
设x1>0,Xn+1=1/2(Xn+1/Xn)(n=1,2,3.n),证明数列极限Xn n趋向无穷存在 并且求极限值好的加分
设x1>0,Xn+1=1/2(Xn+1/Xn)(n=1,2,3.n),证明数列极限Xn n趋向无穷存在 并且求极限值
好的加分
设x1>0,Xn+1=1/2(Xn+1/Xn)(n=1,2,3.n),证明数列极限Xn n趋向无穷存在 并且求极限值好的加分
如下
X1>0, Xn+1 = 1/2 (Xn +1/Xn) ≥ 1
Xn+1 - 1/2 Xn = (1/2) / Xn ≤ 1/2
Xn - (1/2) Xn-1 ≤ 1/2 (1)
=> (1/2) Xn-1 - (1/2^2) Xn-2 ≤ 1/ 2^...
全部展开
X1>0, Xn+1 = 1/2 (Xn +1/Xn) ≥ 1
Xn+1 - 1/2 Xn = (1/2) / Xn ≤ 1/2
Xn - (1/2) Xn-1 ≤ 1/2 (1)
=> (1/2) Xn-1 - (1/2^2) Xn-2 ≤ 1/ 2^2 (2)
......
[1/2^(n-2)) X2 - [1/2^(n-1)] X1 ≤ 1/ 2^n (n)
上面n个式子相加:Xn - [1/2^(n-1)] X1 ≤ 1/2 + 1/2^2 + ...... + 1/2^n
当n->∞时, [1/2^(n-1)] X1 -> 0 , 1/2 + 1/2^2 + ...... + 1/2^n -> 1
于是 lim Xn = 1
收起
x=(x+1/x)/2 ==> x^2-2x-1=0==>x=1
n->inf xn-->1
xn>1 x_(n+1)<(x_n+1)/2,
x_n=(x_n+1)/2 收敛,故收敛x_(n+1)<(x_n+1/x_n)/2。