已知不等式(x+y)(1/x+a/y)>=9对任意正实数x ,y恒成立,则正实数a的最小值为?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 11:55:33
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已知不等式(x+y)(1/x+a/y)>=9对任意正实数x ,y恒成立,则正实数a的最小值为?
已知不等式(x+y)(1/x+a/y)>=9对任意正实数x ,y恒成立,则正实数a的最小值为?
已知不等式(x+y)(1/x+a/y)>=9对任意正实数x ,y恒成立,则正实数a的最小值为?
左式展开得:1+y/x+ax/y+a=y/x+ax/y+a+1
由基本不等式可得:y/x+ax/y≧2√a;
所以(x+y)(1/x+a/y)=y/x+ax/y+a+1≧2√a+a+1=(√a+1)^2
所以:(√a+1)^2≧9
得:√a+1≧3
所以:√a≧2,则a≧4
所以,正实数a的最小值为4
希望能帮到你,如果不懂,请Hi我,祝学习进步!
x,y,a为正实数
所以(x+y)(1/x+a/y)=1+a+(y/x)+(ax/y)>=1+a+2(根号a)>=9恒成立
所以[(根号a)+1]^2>=9
(根号a)+1>=3 或(根号a)+1<=-3(舍)
故a的最小值为4
1+y/x+ax/y+a=y/x+ax/y+a+1,由于x、y均为正整数,
所以由不等式的性质可得原式
(x+y)(1/x+a/y)=y/x+ax/y+a+1≧2√a+a+1=(√a+1)^2
由题意可得(√a+1)^2>=9,解得a≧4
故 正实数a的最小值为4
(x+y)(1/x+a/y)≥9 【展开】
1+a+[y/x+ax/y]≥9恒成立,则只需要:
1+a+[y/x+ax/y]的最小值≥9即可。
而y/x+ax/y≥2√a,所以1+a+[y/x+ax/y]≥1+a+2√a,即1+a+[y/x+ax/y]的最小值是1+a+2√a,则:
1+a+2√a≥9
(√a+1)²≥9
√...
全部展开
(x+y)(1/x+a/y)≥9 【展开】
1+a+[y/x+ax/y]≥9恒成立,则只需要:
1+a+[y/x+ax/y]的最小值≥9即可。
而y/x+ax/y≥2√a,所以1+a+[y/x+ax/y]≥1+a+2√a,即1+a+[y/x+ax/y]的最小值是1+a+2√a,则:
1+a+2√a≥9
(√a+1)²≥9
√a+1≥3
得:a≥4。即a的最小值是4.
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