高数题,x'=x^2-1,x等于多少?求解下面3个方程,并做积分曲线:x'=x^2-1x'=x^2-3xx'=cos(x)如果没功夫解三个方程,只解一个然后告诉我解的方法也行.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 22:53:22
![高数题,x'=x^2-1,x等于多少?求解下面3个方程,并做积分曲线:x'=x^2-1x'=x^2-3xx'=cos(x)如果没功夫解三个方程,只解一个然后告诉我解的方法也行.](/uploads/image/z/2499436-28-6.jpg?t=%E9%AB%98%E6%95%B0%E9%A2%98%2Cx%27%3Dx%5E2-1%2Cx%E7%AD%89%E4%BA%8E%E5%A4%9A%E5%B0%91%3F%E6%B1%82%E8%A7%A3%E4%B8%8B%E9%9D%A23%E4%B8%AA%E6%96%B9%E7%A8%8B%2C%E5%B9%B6%E5%81%9A%E7%A7%AF%E5%88%86%E6%9B%B2%E7%BA%BF%EF%BC%9Ax%27%3Dx%5E2-1x%27%3Dx%5E2-3xx%27%3Dcos%28x%29%E5%A6%82%E6%9E%9C%E6%B2%A1%E5%8A%9F%E5%A4%AB%E8%A7%A3%E4%B8%89%E4%B8%AA%E6%96%B9%E7%A8%8B%2C%E5%8F%AA%E8%A7%A3%E4%B8%80%E4%B8%AA%E7%84%B6%E5%90%8E%E5%91%8A%E8%AF%89%E6%88%91%E8%A7%A3%E7%9A%84%E6%96%B9%E6%B3%95%E4%B9%9F%E8%A1%8C.)
高数题,x'=x^2-1,x等于多少?求解下面3个方程,并做积分曲线:x'=x^2-1x'=x^2-3xx'=cos(x)如果没功夫解三个方程,只解一个然后告诉我解的方法也行.
高数题,x'=x^2-1,x等于多少?
求解下面3个方程,并做积分曲线:
x'=x^2-1
x'=x^2-3x
x'=cos(x)
如果没功夫解三个方程,只解一个然后告诉我解的方法也行.
高数题,x'=x^2-1,x等于多少?求解下面3个方程,并做积分曲线:x'=x^2-1x'=x^2-3xx'=cos(x)如果没功夫解三个方程,只解一个然后告诉我解的方法也行.
这三个方程都是一样的类型,就是不显含自变量的,等式右边只有因变量x.这种天生就是变量分离的方程,只要把右边除过来,然后两边积分即可.
比如第一个dx/dt=x²-1,得dx/(x²-1)=dt,注意这一步有个细节性问题,就是不等价转化,原本x²-1在右边,x可以取全体实数,但是现
在到分母上去了,x不等于±1才行,这无形中就丢掉两个可能的解,就是x=±1这两个常数函数特解,你先试试x=±1,发现满足这个方程,所以先知道它有
两个特解,然后再往下做.
dx/(x²-1)=dt两边积分,得∫dx/(x²-1)=t+C
左边的积分是常规的分式积分计
算,先裂项再积分.1/(x²-1)=1/2 [1/(x-1)-1/(x+1)]然后积分,得到左边=1/2
(ln|x-1|-ln|x+1|)+C=1/2 ln|(x-1)/(x+1)|+C(1/x的积分是ln|x|,不要忘了绝对值)
所以积分曲线就是ln|(x-1)/(x+1)|=2t+C,
你可以用渐近行为和对称性大致画出图象.设横坐标表示t,纵坐标是x,先设C=0,画t=t(x)的图象(你可以现在把横坐标看成是因变量,x看成自变
量),然后再让图象可以整体平移就代表了C可以是全体实常数.用渐近行为判断:x趋于无穷的时候应该是2t=0,t=0,所以两边取无穷的时候都是0;另外这是个奇函数,x→-x时ln项分子分母颠倒,多出负号;还有x=±1的时候函数是趋近于无穷的,所以图象大致能判断出是什么样的(这就是个线性分式函数加绝对值,与对数函数的符合,大致还是线性分式函数的样子),而且可以上下随意平移.别忘了两个特解也画上(两个特解正好是±1那个位置,是渐近线,常微分方程里面往往都有这个规律,特解是所有通解曲线的包络线,或者和所有通解都相交,等等).
第二个也类似,先右边除过来,把特解考虑上,然后两边积分,然后画图(和1类似).第三个也是这样,不过特解有无穷多,所有x=kπ都是,然后积分,1/cosx积分稍微有点麻烦,用三角有理式通用的方法可以做(可以上下都乘cosx,下面变成1-sin²x,上面变成dsinx,令y=sinx,就是dy/1-y²和1一样了).