若f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+2)也为奇函数,则f(x)是以4为周期的奇函数.求证明这一点.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 14:11:48
![若f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+2)也为奇函数,则f(x)是以4为周期的奇函数.求证明这一点.](/uploads/image/z/2486003-59-3.jpg?t=%E8%8B%A5f%28x%29%E6%98%AF%E5%AE%9A%E4%B9%89%E5%9C%A8R%E4%B8%8A%E7%9A%84%E5%A5%87%E5%87%BD%E6%95%B0%2C%E4%B8%94f%28x%2B2%29%E4%B9%9F%E4%B8%BA%E5%A5%87%E5%87%BD%E6%95%B0%2C%E5%88%99f%28x%29%E6%98%AF%E4%BB%A54%E4%B8%BA%E5%91%A8%E6%9C%9F%E7%9A%84%E5%A5%87%E5%87%BD%E6%95%B0.%E6%B1%82%E8%AF%81%E6%98%8E%E8%BF%99%E4%B8%80%E7%82%B9.)
若f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+2)也为奇函数,则f(x)是以4为周期的奇函数.求证明这一点.
若f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+2)也为奇函数,则f(x)是以4为周期的奇函数.求证明这一点.
若f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+2)也为奇函数,则f(x)是以4为周期的奇函数.求证明这一点.
根据奇函数的定义,
f(-x)=-f(x)①
f(-x+2)=-f(x+2)②
由①,有f(-x+2)=-f(x-2)③
将③代入②,有-f(x-2)=-f(x+2),即f(x-2)=f(x+2)
则已经证明f(x)是以4为周期了.
这个题目应该是比较典型的函数题目的,。。我毕业好久了。。现在忘记了。。不过应该不难的了。。
f(x+2)也为奇函数,则f(-x+2)=-f(x+2),令x=2-x。即可。。
证明:
由题设可知,对任意实数x,恒有:
f(x)+f(-x)=0
f(x+2)+f(-x+2)=0
在等式f(x)+f(-x)=0中,设x=-t+2,则-x=t-2
此时有:f(-t+2)+f(t-2)=0
即有:f(-x+2)+f(x-2)=0
又:f(-x+2)+f(x+2)=0
∴恒有:f(x-2)=...
全部展开
证明:
由题设可知,对任意实数x,恒有:
f(x)+f(-x)=0
f(x+2)+f(-x+2)=0
在等式f(x)+f(-x)=0中,设x=-t+2,则-x=t-2
此时有:f(-t+2)+f(t-2)=0
即有:f(-x+2)+f(x-2)=0
又:f(-x+2)+f(x+2)=0
∴恒有:f(x-2)=f(x+2)
再设x-2=k,则x+2=k+4
∴可得:f(k)=f(k+4)
即恒有:f(x+4)=f(x)
由周期函数定义可知,
函数f(x)是周期为4的周期函数。
收起