设函数g(x)=1/3 x^3+1/2 ax^2+bx+c(a,b∈R)的图像经过原点,在其图像上一点P(x,y)处的切线的斜率记为f(x).(1)若方程f(x)=0有两个实根分别为-2和4,求f(x)的表达式、(2)若g(x)在区间【1,3】上是单调递减函
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 16:13:13
![设函数g(x)=1/3 x^3+1/2 ax^2+bx+c(a,b∈R)的图像经过原点,在其图像上一点P(x,y)处的切线的斜率记为f(x).(1)若方程f(x)=0有两个实根分别为-2和4,求f(x)的表达式、(2)若g(x)在区间【1,3】上是单调递减函](/uploads/image/z/2473177-49-7.jpg?t=%E8%AE%BE%E5%87%BD%E6%95%B0g%28x%29%3D1%2F3+x%5E3%2B1%2F2+ax%5E2%2Bbx%2Bc%28a%2Cb%E2%88%88R%29%E7%9A%84%E5%9B%BE%E5%83%8F%E7%BB%8F%E8%BF%87%E5%8E%9F%E7%82%B9%2C%E5%9C%A8%E5%85%B6%E5%9B%BE%E5%83%8F%E4%B8%8A%E4%B8%80%E7%82%B9P%28x%2Cy%29%E5%A4%84%E7%9A%84%E5%88%87%E7%BA%BF%E7%9A%84%E6%96%9C%E7%8E%87%E8%AE%B0%E4%B8%BAf%28x%29.%281%29%E8%8B%A5%E6%96%B9%E7%A8%8Bf%28x%29%3D0%E6%9C%89%E4%B8%A4%E4%B8%AA%E5%AE%9E%E6%A0%B9%E5%88%86%E5%88%AB%E4%B8%BA-2%E5%92%8C4%2C%E6%B1%82f%28x%29%E7%9A%84%E8%A1%A8%E8%BE%BE%E5%BC%8F%E3%80%81%EF%BC%882%EF%BC%89%E8%8B%A5g%28x%29%E5%9C%A8%E5%8C%BA%E9%97%B4%E3%80%901%2C3%E3%80%91%E4%B8%8A%E6%98%AF%E5%8D%95%E8%B0%83%E9%80%92%E5%87%8F%E5%87%BD)
设函数g(x)=1/3 x^3+1/2 ax^2+bx+c(a,b∈R)的图像经过原点,在其图像上一点P(x,y)处的切线的斜率记为f(x).(1)若方程f(x)=0有两个实根分别为-2和4,求f(x)的表达式、(2)若g(x)在区间【1,3】上是单调递减函
设函数g(x)=1/3 x^3+1/2 ax^2+bx+c(a,b∈R)的图像经过原点,在其图像上一点P(x,y)处的切线的斜率记为f(x).
(1)若方程f(x)=0有两个实根分别为-2和4,求f(x)的表达式、
(2)若g(x)在区间【1,3】上是单调递减函数,求a^2+b^2的最小值.
设函数g(x)=1/3 x^3+1/2 ax^2+bx+c(a,b∈R)的图像经过原点,在其图像上一点P(x,y)处的切线的斜率记为f(x).(1)若方程f(x)=0有两个实根分别为-2和4,求f(x)的表达式、(2)若g(x)在区间【1,3】上是单调递减函
f(x)=g'(x) = (x³/3+ax²/2+bx)' = x²+ax+b
(1)
x²+ax+b=0有两个实根分别为-2和4
a=-(-2+4)=-2
b=-2×4=-8
∴f(x)=x²-2x-8
(2)
令f(x)=0的两根分别为x1、x2,且x1<x2
即g(x)在x1、x2处取极值.
令f(x)≤0,则x1≤x≤x2
∴g(x)在[x1,x2]上单调递减.
∴[1,3]包含于[x1,x2]
∴f(1)≤1,f(3)≤0
即a+b+1≤0
3a+b+9≤0
上面表示的是一个区域!如图.
点A(a,b)为区域中的点,O为原点!
圆O以OA为半径
R=|OA|=√(a²+b²)
∴求a²+b²最小值,即求|OA|²最小值,即求R最小值
当圆O与直线3a+b+9=0相切时 (此时R最小)
R=|OA|=9/√10
∴(a²+b²)min=81/10
图在这,下下来看(右击另存为):
这类题 资料书上例题很多 看着对照下 就是现在告诉你了 你也记不住 自己动手才能领会
(1)g(x)求导 得f(x)=x^2+ax+b=0 有2根-2和4
代入-2和4 就可以可以a=-2 b=-8 所以f(x)=x^2-2x-8
(2)f(x)=x^2+ax+b 函数图像开口向上 g(x)在区间【1,3】上是单调递减函数
所以f(1)<0 f(3)<0 1+a+b<0 9+3a+b<0<...
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(1)g(x)求导 得f(x)=x^2+ax+b=0 有2根-2和4
代入-2和4 就可以可以a=-2 b=-8 所以f(x)=x^2-2x-8
(2)f(x)=x^2+ax+b 函数图像开口向上 g(x)在区间【1,3】上是单调递减函数
所以f(1)<0 f(3)<0 1+a+b<0 9+3a+b<0
作a b的直角坐标系 得到直线b=-3a-9左下方区域
过原点作直线b=-3a-9垂线 交于(-27/10,-9/10)
a=-27/10 b=-9/10 时a^2+b^2最小为729/100
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