设二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)中a,b,c均为整数,且f(0),f(1)均为奇数,求证方程f(X)=0无整数根
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 14:47:12
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设二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)中a,b,c均为整数,且f(0),f(1)均为奇数,求证方程f(X)=0无整数根
设二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)中a,b,c均为整数,且f(0),f(1)均为奇数,求证方程f(X)=0无整数根
设二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)中a,b,c均为整数,且f(0),f(1)均为奇数,求证方程f(X)=0无整数根
由题意得
c为奇数
a+b+c为奇数
所以a+b为偶数
那么f(2)=4a+2b+c=(a+b+c)+(a+b)+2a为奇数
f(3)=9a+3b+c=(a+b+c)+2(a+b)+6a为奇数
以此类推f(n )=an^2+bn+c=(a+b+c)+(n-1)(a+b)+n(n-1)a
n(n-1)是偶数,所以上式仍然是奇数
所以可以总结出,当n为整数时,f(n)为奇数
由于0不是奇数,所以不存在整数n使f(n)为0.即方程无整数根
试试反证法吧,假设方程f(X)=0有整数根,推出矛盾
由f(0),f(1)均为奇数可知,C为奇数,而A、B同奇偶
假设有整数根T
那么A*D*D+B*D+C为偶数(即0)
那么逆推回来就是A*D*D+B*D为奇数
从这里看显然D为奇数,若为偶数会有矛盾
再讨论,发现无论AB同为奇数还是同为偶数都与条件A*D*D+B*D为奇数矛盾
所以无整数根...
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由f(0),f(1)均为奇数可知,C为奇数,而A、B同奇偶
假设有整数根T
那么A*D*D+B*D+C为偶数(即0)
那么逆推回来就是A*D*D+B*D为奇数
从这里看显然D为奇数,若为偶数会有矛盾
再讨论,发现无论AB同为奇数还是同为偶数都与条件A*D*D+B*D为奇数矛盾
所以无整数根
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