已知函数f(x)=(x-a)(x-b)²,a,b是常数.已知函数f(x)=(x-a)(x-b)2,a,b是常数.(1)若a≠b,求证:函数f(x)存在极大值和极小值;(2)设(1)中f(x)取得极大值、极小值时自变
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 16:54:42
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已知函数f(x)=(x-a)(x-b)²,a,b是常数.已知函数f(x)=(x-a)(x-b)2,a,b是常数.(1)若a≠b,求证:函数f(x)存在极大值和极小值;(2)设(1)中f(x)取得极大值、极小值时自变
已知函数f(x)=(x-a)(x-b)²,a,b是常数.
已知函数f(x)=(x-a)(x-b)2,a,b是常数.
(1)若a≠b,求证:函数f(x)存在极大值和极小值;
(2)设(1)中f(x)取得极大值、极小值时自变量的值分别为x1、x2,令点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)).如果直线AB的斜率为-1/2,求函数f(x)和f′(x)的公共递减区间的长度;
(3)若f(x)≥mxf′(x)对于一切x∈R恒成立,求实数m,a,b满足的条件
只求第3问解答过程中的一步:
第三问我化到这里,(x-b){(1-3m)x2+[m(2a+b)-(a+b)]x+ab}≥0.讨论m的取值m≠1/3时,
已知函数f(x)=(x-a)(x-b)²,a,b是常数.已知函数f(x)=(x-a)(x-b)2,a,b是常数.(1)若a≠b,求证:函数f(x)存在极大值和极小值;(2)设(1)中f(x)取得极大值、极小值时自变
f′(x)=(x-b)²+2(x-a)(x-b)=(x-b)[(x-b)+2(x-a)]
f(x)≥mxf′(x)
→(x-a)(x-b)²≥mx(x-b)[(x-b)+2(x-a)]
→(x-b)﹛(x-a)(x-b)-mx[(x-b)+2(x-a)]﹜≥0
→(x-b)[x²-(a+b)x+ab-mx²+mbx-2mx²+2amx]≥0
→(x-b)[(1-3m)x²+(2am+bm-a-b)x+ab]≥0
→(1-3m)x³+(2am+bm-a-b)x²+abx-(1-3m)bx²-(2am+bm-a-b)bx-ab²≥0
→(1-3m)x³+[2am-a-2b+4bm]x²+(2ab-2abm-b²m+b²)x-ab²≥0
令g(x)=(1-3m)x³+(2am-a-2b+4bm)x²+(2ab-2abm-b²m+b²)x-ab²
m≠1/3时
g′(x)=(3-9m)x²+(4am-2a-4b+8bm)x+(2ab-2abm-b²m+b²)
欲使g(x)≥0恒成立
→g(x)min≥0
→观察g′(x):
如果g′(x)恒≥0,即g(x)单调递增,此时g(x)值域肯定为R
g′(x)恒≤0,即g(x)单调递减,此时g(x)值域肯定也为R
如果g′(x)与x轴存在两个交点,无论开口向上还是向下,g(x)肯定是先增后减再增,或者先减后增再减,这时g(x)依然没有最小值
∴m=1/3