如图,三角形ABC中,∠BAC=90°,AD垂直于BC于D,∠ABC的平分线交AD于E,交AC于F,EG平行于BC交AC于G,求证:AG=FC
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/28 14:55:04
![如图,三角形ABC中,∠BAC=90°,AD垂直于BC于D,∠ABC的平分线交AD于E,交AC于F,EG平行于BC交AC于G,求证:AG=FC](/uploads/image/z/1600924-4-4.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2ABC%E4%B8%AD%2C%E2%88%A0BAC%3D90%C2%B0%2CAD%E5%9E%82%E7%9B%B4%E4%BA%8EBC%E4%BA%8ED%2C%E2%88%A0ABC%E7%9A%84%E5%B9%B3%E5%88%86%E7%BA%BF%E4%BA%A4AD%E4%BA%8EE%2C%E4%BA%A4AC%E4%BA%8EF%2CEG%E5%B9%B3%E8%A1%8C%E4%BA%8EBC%E4%BA%A4AC%E4%BA%8EG%2C%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9AAG%3DFC)
如图,三角形ABC中,∠BAC=90°,AD垂直于BC于D,∠ABC的平分线交AD于E,交AC于F,EG平行于BC交AC于G,求证:AG=FC
如图,三角形ABC中,∠BAC=90°,AD垂直于BC于D,∠ABC的平分线交AD于E,交AC于F,EG平行于BC交AC于G,求证:AG=FC
如图,三角形ABC中,∠BAC=90°,AD垂直于BC于D,∠ABC的平分线交AD于E,交AC于F,EG平行于BC交AC于G,求证:AG=FC
(1)
由∠BAC=90°,AD垂直于BC于D,∠ABC的平分线交AD于E,可得
∠BED=∠AFE
∵∠BED=∠AEF
∴∠AFE=∠AEF
∴AE=AF
(2)
过F作FH垂直BC于H,则有
△ABF≌△HBF
∴AF=FH
(3)
由FH垂直BC于H,AD垂直BC于D,EG平行于BC交AC于G,有
∠AEG=90°=∠FHC
∠AGE=∠FCH
AE=FH
∴△AEG≌△FHC
∴AG=FC
证明:过E点作EK⊥AB于K 过G点作GH⊥BC于H ∵BF是∠ABC的角平分线 ∴EK=ED ∠ABF=∠FBC ∵EG∥BC ED⊥BC GH⊥BC ∴EDHG为矩形 ∴ED=GH GH=EK ∵∠KAE=90°-∠ABC ∠C=90°-∠ABC ∴∠KAE=∠C ∴Rt△AKE≌Rt△GHC ∴AE=GC ∵∠AFE=90°-ABF ∠AEF=∠BED=90°-∠FBC ∴∠AEF=∠AFE ∴AE=AF AF=GC ∴AF+FG=AG GC+FG=FC ∴AG=FC