数列,已知正项数列An的前n项和为Sn.a1=2.且4Sn=An乘A(n+1),求An的通项公式
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/03 04:24:36
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数列,已知正项数列An的前n项和为Sn.a1=2.且4Sn=An乘A(n+1),求An的通项公式
数列,
已知正项数列An的前n项和为Sn.a1=2.且4Sn=An乘A(n+1),求An的通项公式
数列,已知正项数列An的前n项和为Sn.a1=2.且4Sn=An乘A(n+1),求An的通项公式
当n=1时,s1=a1=2
当n》2时,4S(n-1)=A(n-1)×An;
Sn-S(n-1)=An,4Sn-4S(n-1)=An×A(n+1)-A(n-1)×An 即4an=an(an+1-an-1)
∵an≠0
∴an+1-an-1=4 ∵a1=2得a2=5
奇数项成以4为公差的等差数列;偶数项成以4为公差的等差数列
an=5n-3
4A(n)=4(S(n)-S(n-1))=A(n)A(n+1)-A(n)A(n-1)
A(n+1)-A(n-1)=4
令A(0)=0,根据已知4S(2)=4A(1)=A(1)*A(2)
所以A(2)=4
对n=2K
因A(2k)-A(2(k-1))=4;遍历k=1...K并两边求和,A(2K)-A(0)=4K=2(2K),所以当n为偶数时,A(n)=2n
全部展开
4A(n)=4(S(n)-S(n-1))=A(n)A(n+1)-A(n)A(n-1)
A(n+1)-A(n-1)=4
令A(0)=0,根据已知4S(2)=4A(1)=A(1)*A(2)
所以A(2)=4
对n=2K
因A(2k)-A(2(k-1))=4;遍历k=1...K并两边求和,A(2K)-A(0)=4K=2(2K),所以当n为偶数时,A(n)=2n
对n=2K+1
A(2k+1)-A(2k-1)=A(2k+1)-A(2(k-1)+1)=4;遍历k=1...K并两边求和,A(2K+1)-A(1)=4K
A(2K+1)=4K+2=2(2K+1),所以当n为奇数时,A(n)=2n也成立
所以A(n)=2n,对所有正整数都成立
收起
4Sn=An*A(n+1)
4Sn=A(n-1)*An
4An=An[A(n+1)-A(n-1)]
[A(n+1)-A(n-1)]=4
an-a(n-2)=4
a1=2 a2=-4 a3=6
an=2n(n为奇数)
an=2n-8(n为偶数)