在三棱锥P-ABC中,AB=BC=根号6,平面PAC⊥平面ABC,PD⊥AC于点D,AD=1,CD=3,PD=根号3(1)证明△PBC为直角三角形(2)求直线AP与平面PBC所成角的正弦值(请看好题目,跟网上那题不一样,过程详细的再加50分
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/28 10:22:55
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在三棱锥P-ABC中,AB=BC=根号6,平面PAC⊥平面ABC,PD⊥AC于点D,AD=1,CD=3,PD=根号3(1)证明△PBC为直角三角形(2)求直线AP与平面PBC所成角的正弦值(请看好题目,跟网上那题不一样,过程详细的再加50分
在三棱锥P-ABC中,AB=BC=根号6,平面PAC⊥平面ABC,PD⊥AC于点D,AD=1,CD=3,PD=根号3
(1)证明△PBC为直角三角形
(2)求直线AP与平面PBC所成角的正弦值(请看好题目,跟网上那题不一样,过程详细的再加50分)
在三棱锥P-ABC中,AB=BC=根号6,平面PAC⊥平面ABC,PD⊥AC于点D,AD=1,CD=3,PD=根号3(1)证明△PBC为直角三角形(2)求直线AP与平面PBC所成角的正弦值(请看好题目,跟网上那题不一样,过程详细的再加50分
过B做AC垂线,垂足为E,E平分AC.PD垂直与DB.CE=2,BC=6^1/2. 得BE=2^1/2. DE=1 得 BD=3^1/2. 直角三角形PDB,PB=6^1/2. 直角三角形PDC中,PD=3^1/2 DC=3 得PC=12^1/2.
在三角形PBC中,PB=BC=6^1/2, PC=12^1/2. 由勾股定理得 三角形PBC为直角三角形,角PBC为直角.
这个可以建立直角坐标系,以E为原点O,OB为X轴,OC为Y轴,过O平行DP直线为Z轴.
得O(0,0,0) A(0,-2,0) P(0,-1,3^1/2) B(2^1/2,0,0) C(0,2,0)
向量AP=(0,1,3^1/2) 向量CP=0,-3,3^1/2) 向量CB=(2^1/2,-2,0)
向量CP点乘CB得平面PBC的法向量为(2^1/2,1,3^1/2) 求得AP与法向量的余弦值值为(0+1+3)/2*6^1/2=6^1/2/3
也就是AP与平面PBC的交角的正弦值为根号2除以根号3.