如图已知椭圆x2/a2+y2/b2=1 长轴为4,离心率为1/2,过(0,-2)点的直线交椭圆于AB两点,交x轴于P点,点A关于x轴的对称点为C,直线BC交x轴于Q点.证:OP*OQ为常数
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/05 13:25:33
![如图已知椭圆x2/a2+y2/b2=1 长轴为4,离心率为1/2,过(0,-2)点的直线交椭圆于AB两点,交x轴于P点,点A关于x轴的对称点为C,直线BC交x轴于Q点.证:OP*OQ为常数](/uploads/image/z/14838347-11-7.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E6%A4%AD%E5%9C%86x2%2Fa2%2By2%2Fb2%3D1+%E9%95%BF%E8%BD%B4%E4%B8%BA4%2C%E7%A6%BB%E5%BF%83%E7%8E%87%E4%B8%BA1%2F2%2C%E8%BF%87%280%2C-2%29%E7%82%B9%E7%9A%84%E7%9B%B4%E7%BA%BF%E4%BA%A4%E6%A4%AD%E5%9C%86%E4%BA%8EAB%E4%B8%A4%E7%82%B9%2C%E4%BA%A4x%E8%BD%B4%E4%BA%8EP%E7%82%B9%2C%E7%82%B9A%E5%85%B3%E4%BA%8Ex%E8%BD%B4%E7%9A%84%E5%AF%B9%E7%A7%B0%E7%82%B9%E4%B8%BAC%2C%E7%9B%B4%E7%BA%BFBC%E4%BA%A4x%E8%BD%B4%E4%BA%8EQ%E7%82%B9.%E8%AF%81%EF%BC%9AOP%2AOQ%E4%B8%BA%E5%B8%B8%E6%95%B0)
如图已知椭圆x2/a2+y2/b2=1 长轴为4,离心率为1/2,过(0,-2)点的直线交椭圆于AB两点,交x轴于P点,点A关于x轴的对称点为C,直线BC交x轴于Q点.证:OP*OQ为常数
如图已知椭圆x2/a2+y2/b2=1 长轴为4,离心率为1/2,过(0,-2)点的直线交椭圆于AB两点,交x轴于P点,点A关于x轴的对称点为C,直线BC交x轴于Q点.证:OP*OQ为常数
如图已知椭圆x2/a2+y2/b2=1 长轴为4,离心率为1/2,过(0,-2)点的直线交椭圆于AB两点,交x轴于P点,点A关于x轴的对称点为C,直线BC交x轴于Q点.证:OP*OQ为常数
2a=4,a=2
e=c/a=1/2,c=1,
b=V(a^2-c^2)=V3
方程为x^2/4+y^2/3=1
由2a=4及e=c/a=1/2易得,a=2,c=1,进而b²=3,所以
椭圆方程为x²/4+y²/3=1
设直线AB的斜率为k,并设A(x1,y1),B(x2,y2),则C(x1,-y1),
因为直线AB过点(0,-2),由斜截式可写出直线AB:y=kx-2,令y=0可求得
P点的横坐标为Xp=2/k。
将AB的直线方程与椭圆方...
全部展开
由2a=4及e=c/a=1/2易得,a=2,c=1,进而b²=3,所以
椭圆方程为x²/4+y²/3=1
设直线AB的斜率为k,并设A(x1,y1),B(x2,y2),则C(x1,-y1),
因为直线AB过点(0,-2),由斜截式可写出直线AB:y=kx-2,令y=0可求得
P点的横坐标为Xp=2/k。
将AB的直线方程与椭圆方程联立消y得
(4k²+3)x²-16kx+4=0,
由韦达定理有
x1+x2=16k/(4k²+3),x1x2=4/(4k²+3)
由两点式写出BC的直线方程为(y+y1)/(x-x1)=(y2+y1)/(x2-x1),令y=0可求得
Q点的横坐标为Xq=(x1y2+x2y1)/(y1+y2)。
因为A(x1,y1),B(x2,y2),均在直线AB:y=kx-2上,故
y1=kx1-2,y2=kx2-2
代入Q点的横坐标表达式得
Xq=[x1(kx2-2)+x2(kx1-2)]/[(kx2-2)+(kx1-2)]=[2kx1x2-2(x1+x2)]/[k(x1+x2)-4]。
将韦达定理代入继续化简Q点横坐标得
Xq=[2k*4/(4k²+3)-2*16k/(4k²+3)]/[k*16k/(4k²+3)-4]=2k。
所以OP*OQ=Xp*Xq=(2/k)*2k=4。
从而证得OP*OQ为常数。
收起