4. 已知:如图,在正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD上的点.(1) 若∠MAN=45°,求证:MB+ND=MN .(2) 若MB+ND=MN,求证:∠MAN=45°.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/01 01:28:44
![4. 已知:如图,在正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD上的点.(1) 若∠MAN=45°,求证:MB+ND=MN .(2) 若MB+ND=MN,求证:∠MAN=45°.](/uploads/image/z/13637051-35-1.jpg?t=4%EF%BC%8E+%E5%B7%B2%E7%9F%A5%EF%BC%9A%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E5%9C%A8%E6%AD%A3%E6%96%B9%E5%BD%A2ABCD%E4%B8%AD%2CM%2CN%E5%88%86%E5%88%AB%E6%98%AFBC%2CCD%E4%B8%8A%E7%9A%84%E7%82%B9.%EF%BC%881%EF%BC%89+%E8%8B%A5%E2%88%A0MAN%EF%BC%9D45%C2%B0%2C%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9AMB%EF%BC%8BND%EF%BC%9DMN+.%EF%BC%882%EF%BC%89+%E8%8B%A5MB%EF%BC%8BND%EF%BC%9DMN%2C%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9A%E2%88%A0MAN%EF%BC%9D45%C2%B0.)
4. 已知:如图,在正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD上的点.(1) 若∠MAN=45°,求证:MB+ND=MN .(2) 若MB+ND=MN,求证:∠MAN=45°.
4. 已知:如图,在正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD上的点.
(1) 若∠MAN=45°,求证:MB+ND=MN .
(2) 若MB+ND=MN,求证:∠MAN=45°.
4. 已知:如图,在正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD上的点.(1) 若∠MAN=45°,求证:MB+ND=MN .(2) 若MB+ND=MN,求证:∠MAN=45°.
1)过N做NP垂直于AM.
由题意,得:三角形ANP为等腰直角三角形(∠MAN=45°);
所以:MN^2=NP^2+PM^2;
设正方形ABCD边长为1,BM=b,DN=a.
MN^2=NP^2+PM^2------1;
MN^2=NC^2+MC^2------2;
1,2式联立:NP^2+PM^2=NC^2+MC^2;
故:(AN/√2)^2+(AM-AP)^2=(1-DN)^2+(1-BM)^2;
(1+a^2)/2+(1+b^2)-√2*(根号下)√(1+a^2)*(根号下)√(1+b^2)+(1+a^2)/2=(1-a)^2+(1-b)^2;
(1+a^2)+(1+b^2)-√2*(根号下)√(1+a^2)*(根号下)√(1+b^2)=(1+a^2)+(1+b^2)-2(a+b);
√2*(根号下)√(1+a^2)*(根号下)√(1+b^2)=2(a+b);
(1+a^2)*(1+b^2)=2(a+b)^2;
1+a^2+b^2+a^2*b^2=2a^2+2b^2+4ab;
1+a^2*b^2-2ab=a^2+b^2+2ab;
(1-ab)^2=(a+b)^2;
因为a<1,b<1,故ab<1;
上式为:1-ab=a+b;
随便带入1,2式中的一个(以2式为例):
MN^2=NC^2+MC^2=(1-a)^2+(1-b)^2
=1-2a+a^2+1-2b+b^2
=2-2(a+b)+a^2+b^2
=2-2+2ab+a^2+b^2-------->1-ab=a+b;
=(a+b)^2;
故:MN=a+b=MB+ND,原题得证.
2)由MB+ND=MN,得:NC^2+MC^2=(MB+ND)^2;
所以:(1-a)^2+(1-b)^2=(a+b)^2;
a+b=1-ab;
下面用1)的证明倒推.