如图所示,三角形ABC中,∠BAC=90度,AB=AC,BD是∠ABC的角平分线,BD的延长线垂直于过C点的直线于点E,直CE交BA的延长线于点F.求证:BD=2CE
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 02:56:04
![如图所示,三角形ABC中,∠BAC=90度,AB=AC,BD是∠ABC的角平分线,BD的延长线垂直于过C点的直线于点E,直CE交BA的延长线于点F.求证:BD=2CE](/uploads/image/z/12686424-24-4.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%E6%89%80%E7%A4%BA%2C%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2ABC%E4%B8%AD%2C%E2%88%A0BAC%3D90%E5%BA%A6%2CAB%3DAC%2CBD%E6%98%AF%E2%88%A0ABC%E7%9A%84%E8%A7%92%E5%B9%B3%E5%88%86%E7%BA%BF%2CBD%E7%9A%84%E5%BB%B6%E9%95%BF%E7%BA%BF%E5%9E%82%E7%9B%B4%E4%BA%8E%E8%BF%87C%E7%82%B9%E7%9A%84%E7%9B%B4%E7%BA%BF%E4%BA%8E%E7%82%B9E%2C%E7%9B%B4CE%E4%BA%A4BA%E7%9A%84%E5%BB%B6%E9%95%BF%E7%BA%BF%E4%BA%8E%E7%82%B9F.%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9ABD%3D2CE)
如图所示,三角形ABC中,∠BAC=90度,AB=AC,BD是∠ABC的角平分线,BD的延长线垂直于过C点的直线于点E,直CE交BA的延长线于点F.求证:BD=2CE
如图所示,三角形ABC中,∠BAC=90度,AB=AC,BD是∠ABC的角平分线,BD的延长线垂直于过C点的直线于点E,直
CE交BA的延长线于点F.求证:BD=2CE
如图所示,三角形ABC中,∠BAC=90度,AB=AC,BD是∠ABC的角平分线,BD的延长线垂直于过C点的直线于点E,直CE交BA的延长线于点F.求证:BD=2CE
证明:因为∠CEB=∠CAB=90°
所以:ABCE四点共元
又因为:∠AB E=∠CB E
所以:AE=CE
所以:∠ECA=∠EAC
取线段BD的中点G,连接AG,则:AG=BG=DG
所以:∠GAB=∠ABG
而:∠ECA=∠GBA (同弧上的圆周角相等)
所以:∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB
而:AC=AB
所以:△AEC≌△AGB
所以:EC=BG=DG
所以:BD=2CE
证明:因为∠CEB=∠CAB=90°
所以:ABCE四点共元
又因为:∠AB E=∠CB E
所以:AE=CE
所以:∠ECA=∠EAC
取线段BD的中点G,连接AG,则:AG=BG=DG
所以:∠GAB=∠ABG
而:∠ECA=∠GBA
所以:∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB
而:AC=AB
所以:△AE...
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证明:因为∠CEB=∠CAB=90°
所以:ABCE四点共元
又因为:∠AB E=∠CB E
所以:AE=CE
所以:∠ECA=∠EAC
取线段BD的中点G,连接AG,则:AG=BG=DG
所以:∠GAB=∠ABG
而:∠ECA=∠GBA
所以:∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB
而:AC=AB
所以:△AEC≌△AGB
所以:EC=BG=DG
所以:BD=2CE
收起
延长CE、BA相交于点F.
∵∠EBF+∠F=90°,∠ACF+∠F=90°
∴∠EBF=∠ACF.
在Rt△ABD和Rt△ACF中
∵∠DBA=∠ACF,AB=AC
∴Rt△ABD≌Rt△ACF(ASA)
∴BD=CF
在Rt△BCE和Rt△BFE中
∵BE=BE,∠EBC=∠EBF
∴Rt△BCE≌Rt△BFE(ASA)<...
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延长CE、BA相交于点F.
∵∠EBF+∠F=90°,∠ACF+∠F=90°
∴∠EBF=∠ACF.
在Rt△ABD和Rt△ACF中
∵∠DBA=∠ACF,AB=AC
∴Rt△ABD≌Rt△ACF(ASA)
∴BD=CF
在Rt△BCE和Rt△BFE中
∵BE=BE,∠EBC=∠EBF
∴Rt△BCE≌Rt△BFE(ASA)
∴CE=EF
∴ CE=1/2CF=1/2BD.
BD=2CE
收起
∵BE⊥CE
∴∠BEF=∠BEC=90°
∵BD平分∠ABC
∴∠FBE=∠CBE
在△BEF和△BEC中
∠FBE=∠CBE, BE=BE, ∠BEF=∠BEC
∴△BEF≌△BEC(ASA)
∴EF=EC
∴CF=2CE
∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90°
又∵∠ADB=∠C...
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∵BE⊥CE
∴∠BEF=∠BEC=90°
∵BD平分∠ABC
∴∠FBE=∠CBE
在△BEF和△BEC中
∠FBE=∠CBE, BE=BE, ∠BEF=∠BEC
∴△BEF≌△BEC(ASA)
∴EF=EC
∴CF=2CE
∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90°
又∵∠ADB=∠CDE
∴∠ABD=∠ACF
在△ABD和△ACF中
∠ABD=∠ACF, AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90°
∴△ABD≌△ACF(ASA)
∴BD=CF
∴BD=2CE
收起
因为∠CAF=∠BEF,∠F=∠F,
所以 三角形ACF相似于三角形BEF, 有∠ABD=∠ACF,
又因为 ∠BAD=∠CAF, ∠ABD=∠ACF,
所以 三角形BAD相似于三角形CAF,
所以 BD/AB=CF/AC=CF/AB, 即 BD=CF
因为CF垂直于BE,BE平分角CBF,所以有
三角形CEB全等于三角形FEB, 所以有CE=...
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因为∠CAF=∠BEF,∠F=∠F,
所以 三角形ACF相似于三角形BEF, 有∠ABD=∠ACF,
又因为 ∠BAD=∠CAF, ∠ABD=∠ACF,
所以 三角形BAD相似于三角形CAF,
所以 BD/AB=CF/AC=CF/AB, 即 BD=CF
因为CF垂直于BE,BE平分角CBF,所以有
三角形CEB全等于三角形FEB, 所以有CE=EF,
即CF=2CE
就是 BD=CF=2CE
收起