sin(α-β)=sinαsinβ-cosαcosβ是怎么推导出来的,求原理和具体过程RT
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 17:13:19
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sin(α-β)=sinαsinβ-cosαcosβ是怎么推导出来的,求原理和具体过程RT
sin(α-β)=sinαsinβ-cosαcosβ是怎么推导出来的,求原理和具体过程
RT
sin(α-β)=sinαsinβ-cosαcosβ是怎么推导出来的,求原理和具体过程RT
设α,β是锐角,作直径AB=1的圆O,C,D是位于AB两侧的圆周上的两点,连结CD,由托勒密定理有
CD•AB=BC•AD+AC•BD. (*)
(1)设∠CAB=α,∠DAB=β(如图1),则AC=cosα,BC=sinαAD=cosβ,BD=sinβ,CD=sin(α+β),代入(*)得
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,(1)(2)设∠CAB=α,∠DBA=β,α≥β,AC=cosα,BC=sinα,AD=sinβ,BD=cosβ,CD=cos(α-β),
代入(*)得
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,(2)
由诱导公式易见(1),(2)对任意角α,β都成立,若用-β替换(1),(2)中的β,则可得
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ,(3)
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.(4)
两角和的余弦公式: cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ; (思路:在直角坐标系的单位圆中,根据两点间的距离公式来推导) 作∠AOD=α,∠BOD=-β,∠AOC=β,∠DOC=β+α。 则B(cosβ,-sinβ);D(1,0);A(cosα,sinα); C[cos(α+β),sin(α+β)]。 ∵ OA=OB=OC=OD=1 ∴ CD=AB。 ∵ CD2=[cos(α+β)...
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两角和的余弦公式: cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ; (思路:在直角坐标系的单位圆中,根据两点间的距离公式来推导) 作∠AOD=α,∠BOD=-β,∠AOC=β,∠DOC=β+α。 则B(cosβ,-sinβ);D(1,0);A(cosα,sinα); C[cos(α+β),sin(α+β)]。 ∵ OA=OB=OC=OD=1 ∴ CD=AB。 ∵ CD2=[cos(α+β)-1] 2+[ sin(α+β)-0] 2; =cos2(α+β)- 2cos(α+β)+1 + sin2(α+β); =2-2 cos(α+β)。 AB2=(cosα-cosβ)2+ (sinα+sinβ)2; =cos2α-2cosαcosβ+cos2β+sin2α+2sinαsinβ+ sin2β; =2-2[cosαcosβ- sinαsinβ]。 ∴ 2-2 cos(α+β)=2-2[cosαcosβ- sinαsinβ]。 ∴ cos(α+β)=cosαcosβ- sinαsinβ
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