2道代数题(1)数列an满足:an+1=an^2+((an)-1)^2,求所有的有理数ao,使得存在四个不同的正整数p,q,r,s,满足ap+as=aq+ar.(说明:第一个等式中an+1下标是n+1,第二个等式中p,q,r,s均为下标)6.设x,y,z,a,b,c为正
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 19:37:29
![2道代数题(1)数列an满足:an+1=an^2+((an)-1)^2,求所有的有理数ao,使得存在四个不同的正整数p,q,r,s,满足ap+as=aq+ar.(说明:第一个等式中an+1下标是n+1,第二个等式中p,q,r,s均为下标)6.设x,y,z,a,b,c为正](/uploads/image/z/12049962-42-2.jpg?t=2%E9%81%93%E4%BB%A3%E6%95%B0%E9%A2%98%EF%BC%881%EF%BC%89%E6%95%B0%E5%88%97an%E6%BB%A1%E8%B6%B3%EF%BC%9Aan%2B1%3Dan%5E2%2B%28%28an%29-1%29%5E2%2C%E6%B1%82%E6%89%80%E6%9C%89%E7%9A%84%E6%9C%89%E7%90%86%E6%95%B0ao%2C%E4%BD%BF%E5%BE%97%E5%AD%98%E5%9C%A8%E5%9B%9B%E4%B8%AA%E4%B8%8D%E5%90%8C%E7%9A%84%E6%AD%A3%E6%95%B4%E6%95%B0p%2Cq%2Cr%2Cs%2C%E6%BB%A1%E8%B6%B3ap%2Bas%3Daq%2Bar.%28%E8%AF%B4%E6%98%8E%EF%BC%9A%E7%AC%AC%E4%B8%80%E4%B8%AA%E7%AD%89%E5%BC%8F%E4%B8%ADan%2B1%E4%B8%8B%E6%A0%87%E6%98%AFn%2B1%2C%E7%AC%AC%E4%BA%8C%E4%B8%AA%E7%AD%89%E5%BC%8F%E4%B8%ADp%2Cq%2Cr%2Cs%E5%9D%87%E4%B8%BA%E4%B8%8B%E6%A0%87%296.%E8%AE%BEx%2Cy%2Cz%2Ca%2Cb%2Cc%E4%B8%BA%E6%AD%A3)
2道代数题(1)数列an满足:an+1=an^2+((an)-1)^2,求所有的有理数ao,使得存在四个不同的正整数p,q,r,s,满足ap+as=aq+ar.(说明:第一个等式中an+1下标是n+1,第二个等式中p,q,r,s均为下标)6.设x,y,z,a,b,c为正
2道代数题
(1)数列an满足:an+1=an^2+((an)-1)^2,求所有的有理数ao,使得存在四个不同的正整数p,q,r,s,满足ap+as=aq+ar.(说明:第一个等式中an+1下标是n+1,第二个等式中p,q,r,s均为下标)
6.设x,y,z,a,b,c为正整数,且xy+yz+zx=3.求证:
a(y+z)/(b+c)+b(x+z)/(a+c)+c(x+y)/(a+b)>=3
2道代数题(1)数列an满足:an+1=an^2+((an)-1)^2,求所有的有理数ao,使得存在四个不同的正整数p,q,r,s,满足ap+as=aq+ar.(说明:第一个等式中an+1下标是n+1,第二个等式中p,q,r,s均为下标)6.设x,y,z,a,b,c为正
(1)注意到 a_{n+1}-1/2 = 2 (a_n - 1/2)^2
可以求得 a_n = 2^{(2^n)-1} (a_0 - 1/2)^{2^n} + 1/2
所以序列 {a_n} 是单调的.故不妨设 p>q>r>s
设 a_0 - 1/2 = x/y 是有理数,其中 x,y 是整数,且x,y 互素
代入 a_p + a_s = a_q + a_r 整理可得
2^{2^p-1}x^{2^p-2^s} + 2^{2^s-1}y^{2^p-2^s}
= 2^{2^q-1}x^{2^q-2^s}y^{2^p-2^q} + 2^{2^r-1}x^{2^r-2^s}y^{2^p-2^r}
所以 x^{2^r-2^s} | 2^{2^s-1} ( | 表示整除)
因为 2^r-2^s > 2^s-1,所以 x = 正负1
同样 y^{2^p-2^q} | 2^{2^p-1} 得到 y=正负1或者正负2
代回去得到a_0,再验算即可去掉多余的值.
第2题由xy+yz+zx=3及x,y,z是正整数马上能得到x=y=z=1,再往下就行.