已知定义在R上的函数f(x)满足:(1)f(-x)+f(2a+x)=0,(2)f(x)在[a,+∞)上单调递增,若x1+x2<2a,x1x2+a^2<ax1+ax2,求证:f(x1)+f(x2)<0
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/02 02:06:39
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已知定义在R上的函数f(x)满足:(1)f(-x)+f(2a+x)=0,(2)f(x)在[a,+∞)上单调递增,若x1+x2<2a,x1x2+a^2<ax1+ax2,求证:f(x1)+f(x2)<0
已知定义在R上的函数f(x)满足:(1)f(-x)+f(2a+x)=0,(2)f(x)在[a,+∞)上单调递增,若x1+x2<2a,x1x2+a^2<ax1+ax2,求证:f(x1)+f(x2)<0
已知定义在R上的函数f(x)满足:(1)f(-x)+f(2a+x)=0,(2)f(x)在[a,+∞)上单调递增,若x1+x2<2a,x1x2+a^2<ax1+ax2,求证:f(x1)+f(x2)<0
不妨设x1 < x2
则由x1+x2 < 2a得x1 < a ,x2 < 2a - x1
由x1x2 + a^2 < ax1 + ax2得 x2(x1-a) < a(x1-a)所以x2 > a
因为f(x) 在[a ,+∞)上递增,所以f(x2) < f(2a - x1)
所以f(x1) + f(x2) < f(x1) + f(2a-x1) = 0
(1)中:令x=-x;则有f(x)+f(2a-x)=0, 也就是f(x2)+f(2a-x2)=0; f(x2)=-f(2a-x2)
要证f(x1)+f(x2)<0 也就是f(x2)<-f(x1); 将f(x2)=-f(2a-x2)带入
证明 f(2a-x2)>f(x1)即可 x1+x2<2a 当x1>a 时候 2a-x2>x1; 由单掉递增可以得出答案
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(1)中:令x=-x;则有f(x)+f(2a-x)=0, 也就是f(x2)+f(2a-x2)=0; f(x2)=-f(2a-x2)
要证f(x1)+f(x2)<0 也就是f(x2)<-f(x1); 将f(x2)=-f(2a-x2)带入
证明 f(2a-x2)>f(x1)即可 x1+x2<2a 当x1>a 时候 2a-x2>x1; 由单掉递增可以得出答案
至于证明x1>a 利用条件 x1x2+a^2<ax1+ax2 这个可以用反证法 由于篇幅较长 lz自己思考一下
收起
由题意,f(-x)+f(2a+x)=0,经观察得 {-x+(2a+x)}/2=a,所以f(a)=0,即点(a,0)为中心对称点,又由
(2)可知f(x)在定义域R上单调递增,又因为X1+X2<2a,即(X1+X2)/2
由x1x2+a^2<ax1+ax2可得(x1-a)(x2-a)<0,得到x1>a且x2<a或者x1<a且x2>a。
当X1>a且x2<a时,由x2<2a-x1.由于函数属单调递增,则f(x1)+f(x2)<f(x1)+f(2a-x1)
令x1=-x,得到,f(x1)+f(x2)<f(x1)+f(2a-x1)=f(-x)+f(2a+x)=0
当x1<a且x2>a时,同理,证明f(x1)+f(x2)<0