如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=√2,AB=1,AD=2,E为BC的中点(1)求二面角A1-DE-A的大小(2)设△A1DE的重心为G,在棱AD上是否存在一点M,使MG⊥平面A1DE?证明你的结论.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 23:18:41
![如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=√2,AB=1,AD=2,E为BC的中点(1)求二面角A1-DE-A的大小(2)设△A1DE的重心为G,在棱AD上是否存在一点M,使MG⊥平面A1DE?证明你的结论.](/uploads/image/z/11378356-52-6.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E5%9C%A8%E9%95%BF%E6%96%B9%E4%BD%93ABCD-A1B1C1D1%E4%B8%AD%2CAA1%3D%E2%88%9A2%2CAB%3D1%2CAD%3D2%2CE%E4%B8%BABC%E7%9A%84%E4%B8%AD%E7%82%B9%281%29%E6%B1%82%E4%BA%8C%E9%9D%A2%E8%A7%92A1-DE-A%E7%9A%84%E5%A4%A7%E5%B0%8F%EF%BC%882%EF%BC%89%E8%AE%BE%E2%96%B3A1DE%E7%9A%84%E9%87%8D%E5%BF%83%E4%B8%BAG%2C%E5%9C%A8%E6%A3%B1AD%E4%B8%8A%E6%98%AF%E5%90%A6%E5%AD%98%E5%9C%A8%E4%B8%80%E7%82%B9M%2C%E4%BD%BFMG%E2%8A%A5%E5%B9%B3%E9%9D%A2A1DE%3F%E8%AF%81%E6%98%8E%E4%BD%A0%E7%9A%84%E7%BB%93%E8%AE%BA.)
如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=√2,AB=1,AD=2,E为BC的中点(1)求二面角A1-DE-A的大小(2)设△A1DE的重心为G,在棱AD上是否存在一点M,使MG⊥平面A1DE?证明你的结论.
如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=√2,AB=1,AD=2,E为BC的中点(1)求二面角A1-DE-A的大小(2)设△A1DE的
重心为G,在棱AD上是否存在一点M,使MG⊥平面A1DE?证明你的结论.
如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=√2,AB=1,AD=2,E为BC的中点(1)求二面角A1-DE-A的大小(2)设△A1DE的重心为G,在棱AD上是否存在一点M,使MG⊥平面A1DE?证明你的结论.
以A为原点,分别以AB,AD,AA1为x,y,z轴,
建立直角坐标系,
则A(0,0,0),E(1,1,0),D(0,2,0),A1(0,0,√2)
向量DE=(1,-1,0),AD=(0,2,0),A1D=(0,2,-√2)
设平面A1DE的一个法向量为m=(x,y,z)
∴m●DE=0,m●A1D=0
∴{x-y=0
{2y-√2z=0
取y=1,x=1,z=√2
∴m=(1,1,√2)
又平面ADE的一个法向量为AA1=(0,0,√2)
∴cos=m●AA1/(|m||AA1|)=2/(2*√2)=√2/2
令二面角A1-DE-A的大小为θ,则θ为锐角
∴cosθ=√2/2,θ=45º
即二面角A1-DE-A的大小为45º
(2)
∵△A1DE的重心为G
∴xG=(0+0+1)=1/3
yG=(0+2+0)=2/3
zG=(0+0+√2)/3=√2/3
∴G(1/3,2/3,√2/3)
设M(0,b,0),b∈[0,2]
∴MG=(1/3,2/3-b,√2/3)
若MG⊥平面A1DE
则MG//m
即(1/3,2/3-b,√2/3)=λ(1,1,√2)
∴2/3-b=1/3
∴b=1/3
∴在棱AD上存在一点M(0,1/3,0),
即AG=1/6*AD,使MG⊥平面A1DE