已知函数f(x)对任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且当x>0时,f(x)>1.(1)求证:函数f(x)在R上是增函数;(2)求证:函数F(x)=f(x)-1是奇函数;(3)若关于x的不等式f(x2-
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/01 07:17:57
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已知函数f(x)对任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且当x>0时,f(x)>1.(1)求证:函数f(x)在R上是增函数;(2)求证:函数F(x)=f(x)-1是奇函数;(3)若关于x的不等式f(x2-
已知函数f(x)对任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且当x>0时,f(x)>1.
(1)求证:函数f(x)在R上是增函数;
(2)求证:函数F(x)=f(x)-1是奇函数;
(3)若关于x的不等式f(x2-ax+5a)<2的解集为{x|-3<x<2},求f(2009)的值.
已知函数f(x)对任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且当x>0时,f(x)>1.(1)求证:函数f(x)在R上是增函数;(2)求证:函数F(x)=f(x)-1是奇函数;(3)若关于x的不等式f(x2-
你题目中的“F(x)”是什么?
已知函数f(x)对任意的实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且当x>0时,f(x)>1.
(1)求证:函数f(x)在R上是增函数;
(2)若关于x的不等式f(x²-ax+5a)<2的解集为{x|-3<x<2},求f(2009)的值;
(3)在(2)的条件下,设an=|f(n)-14|(n∈N*),若数列{an}从第k项开始的连续20项之和等于102,求k的值.
分析:(1)欲证明函数f(x)在R上是增函数,设x1>x2证明f(x1)>f(x2),即可.
(2)先将不等式f(x²-ax+5a)<2转化为f(x²-ax+5a)<f(b),利用函数的单调性脱掉“f”,转化成整式不等式,再结合方程根的定义求解出a,b,最后利用等差数列求出f(2009)的值即可;
(3)设从第k项开始的连续20项之和为Tk,则Tk=(ak)+(ak+1)+…+(ak+19).下面对k进行分类讨论,列出关于k的方程,解之即得k值.
(1)证明:设x1>x2,则x1-x2>0,从而f(x1-x2)>1,即f(x1-x2) -1>0.
f(x1)=f【x2+(x1-x2)】=f(x2)+f(x1-x2) -1>f(x2),
故f(x)在R上是增函数.
(2)设2=f(b),于是不等式为f(x²-ax+5a)<f(b).
则x²-ax+5a<b,即x²-ax+5a-b<0.
∵不等式f(x²-ax+5a)<2的解集为{x|-3<x<2},
∴方程x²-ax+5a-b=0的两根为-3和2,
由韦达定理,得-3+2=a,且-3×2=5a-b
解得a=-1,b=1
∴f(1)=2.
在已知等式中令x=n,y=1,得f(n+1)-f(n)=1.
所以{f(n)}是首项为2,公差为1的等差数列.
f(n)=2+(n-1)×1=n+1,故f(2009)=2010.
(1)令x=y=o得f(0)=1
令y=-x得f(x)+f(-x)=2
因为当x>0时,f(x)>1=f(0)所以函数f(x)在x>0上是增函数;