平面几何竞赛题设P为△ABC内的一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,O为异于P的任意一点,求证:OA+OB+OC>PA+PB+PC
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/03 14:00:20
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平面几何竞赛题设P为△ABC内的一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,O为异于P的任意一点,求证:OA+OB+OC>PA+PB+PC
平面几何竞赛题
设P为△ABC内的一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,O为异于P的任意一点,求证:OA+OB+OC>PA+PB+PC
平面几何竞赛题设P为△ABC内的一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,O为异于P的任意一点,求证:OA+OB+OC>PA+PB+PC
这道题用到了楼上所说的【费尔马点】
证明:
过△ABC的顶点A、B、C分别作PA⊥AM,PC⊥CN,PB⊥BQ,三垂线分别交于M、N、Q三点
在四边形QAPB中,∠QAP=∠QBP=90°,∠APB=120°
∴∠AQB=60°
同理,∠AMC=∠CNB=60°
∴△QMN为等边三角形
设其边长为a,高为h,并设O到△MNQ三边的距离分别为ha,hb,hc
∵S△QMN=S△OQN+S△OQM+S△OMN
∴1/2ah=1/2a•ha+1/2a•hb+1/2a•hc=1/2a(ha+hb+hc)
∴h=ha+hb+hc
即△QMN内任意一点O到△QMN三边的距离之和等于等边三角形的高,是一个定值
∴PA+PB+PC=h
连接直线外一点与直线上一点的线段中,垂线段最短
∴OA+OB+OC大于O到△QMN三边的距离和
即OA+OB+OC>h
∴OA+OB+OC>PA+PB+PC
【说明】平面上到△ABC三个顶点距离和最小的点是P点,点P叫费尔马点
这个是费马点问题
这个可以参考
http://zhidao.baidu.com/question/333339214.html?an=0&si=1
1) 证明△ABE相似于△ACB,得BE/BC=AB/AC,即BE=AB*BC/AC a) BE//AP => ∠AEB=∠PAC,PA与圆相切 => ∠PAC=∠ABC,故∠AEB=∠ABC b)