设f(x)=e^x(ax^2+x+1),且曲线y=f(x)在x=1处的切线与x轴平行.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/02 15:48:17
![设f(x)=e^x(ax^2+x+1),且曲线y=f(x)在x=1处的切线与x轴平行.](/uploads/image/z/10439370-18-0.jpg?t=%E8%AE%BEf%EF%BC%88x%EF%BC%89%3De%5Ex%EF%BC%88ax%5E2%2Bx%2B1%EF%BC%89%2C%E4%B8%94%E6%9B%B2%E7%BA%BFy%3Df%EF%BC%88x%EF%BC%89%E5%9C%A8x%3D1%E5%A4%84%E7%9A%84%E5%88%87%E7%BA%BF%E4%B8%8Ex%E8%BD%B4%E5%B9%B3%E8%A1%8C%EF%BC%8E)
设f(x)=e^x(ax^2+x+1),且曲线y=f(x)在x=1处的切线与x轴平行.
设f(x)=e^x(ax^2+x+1),且曲线y=f(x)在x=1处的切线与x轴平行.
设f(x)=e^x(ax^2+x+1),且曲线y=f(x)在x=1处的切线与x轴平行.
f(x)在[0,1]单调增加,
故f(x)在[0,1]的最大值为f(1)=e,
最小值为f(0)=1.
从而对任意x1,x2∈[0,1],有|f(x1)-f(x2)|≤e-1<2.
而当θ∈[0,π/2 ]时,cosθ,sinθ∈[0,1].
从而|f(cosθ)-f(sinθ)|<2
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(1)先对函数f(x)进行求导,然后根据在x=1处的导数值等于其切线的斜率可求a的值,然后当f'(x)<0时可求函数的单调递减区间,当f'(x)>0时可求函数的单调递增区间.
(2)先确定函数f(x)在[0,1]单调增,求出最大值和最小值,故根据任意x1,x2∈[0,1],有|f(x1)-f(x2)|≤e-1<2,将cosθ、sinθ代入即可得到答案.(Ⅰ)f'(x)=ex(ax2+x+1...
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(1)先对函数f(x)进行求导,然后根据在x=1处的导数值等于其切线的斜率可求a的值,然后当f'(x)<0时可求函数的单调递减区间,当f'(x)>0时可求函数的单调递增区间.
(2)先确定函数f(x)在[0,1]单调增,求出最大值和最小值,故根据任意x1,x2∈[0,1],有|f(x1)-f(x2)|≤e-1<2,将cosθ、sinθ代入即可得到答案.(Ⅰ)f'(x)=ex(ax2+x+1+2ax+1).
由条件知,f'(1)=0,故a+3+2a=0⇒a=-1.
于是f'(x)=ex(-x2-x+2)=-ex(x+2)(x-1).
故当x∈(-∞,-2)∪(1,+∞)时,f'(x)<0;
当x∈(-2,1)时,f'(x)>0.
从而f(x)在(-∞,-2),(1,+∞)单调减少,在(-2,1)单调增加.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)在[0,1]单调增加,
故f(x)在[0,1]的最大值为f(1)=e,
最小值为f(0)=1.
从而对任意x1,x2∈[0,1],有|f(x1)-f(x2)|≤e-1<2.
而当θ∈[0,π2]时,cosθ,sinθ∈[0,1].
从而|f(cosθ)-f(sinθ)|<2点评:本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系,即导函数大于0时原函数单调递增,当导函数小于0时原函数单调递减.
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