已知直线L过点A(0,1)和B(1,0),P是x轴正半轴上的动点,OP的垂直平分线交L于点Q,交x轴于点M.(1)直接写出直线L的解析式;(2)设OP=t,三角形OPQ的面积为S,求S关于t的函数关系式,并求出当0小
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/28 05:24:48
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已知直线L过点A(0,1)和B(1,0),P是x轴正半轴上的动点,OP的垂直平分线交L于点Q,交x轴于点M.(1)直接写出直线L的解析式;(2)设OP=t,三角形OPQ的面积为S,求S关于t的函数关系式,并求出当0小
已知直线L过点A(0,1)和B(1,0),P是x轴正半轴上的动点,OP的垂直平分线交L于点Q,交x轴于点M.
(1)直接写出直线L的解析式;
(2)设OP=t,三角形OPQ的面积为S,求S关于t的函数关系式,并求出当0小于t小于2时,S的最大值;
(3)直线L1过点A且与x轴平行,问在L1上是否存在点C,使得三角形CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,求出点C的坐标,并证明,若不存在,请说明理由.
已知直线L过点A(0,1)和B(1,0),P是x轴正半轴上的动点,OP的垂直平分线交L于点Q,交x轴于点M.(1)直接写出直线L的解析式;(2)设OP=t,三角形OPQ的面积为S,求S关于t的函数关系式,并求出当0小
由题意得
(1)y=1-x;
(2)∵OP=t,
∴Q点的横坐标为 ,
①当 ,即0<t<2时, ,
∴S△OPQ= t(1- t).
②当t≥2时,QM=|1- t|= t-1,
∴S△OPQ= t( t-1).
∴
当0< t<1,即0<t<2时,S= t(1- t)=- (t-1)2+ ,
∴当t=1时,S有最大值 ;
(3)由OA=OB=1,
所以△OAB是等腰直角三角形,
若在L1上存在点C,使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形,
则PQ=QC,
所以OQ=QC,又L1‖x轴,则C,O两点关于直线L对称,
所以AC=OA=1,得C(1,1).下面证∠PQC=90度.连CB,则四边形OACB是正方形.
①当点P在线段OB上,Q在线段AB上(Q与B、C不重合)时,如图-1.
由对称性,得∠BCQ=∠QOP,∠QPO=∠QOP,
∴∠QPB+∠QCB=∠QPB+∠QPO=180°,
∴∠PQC=360°-(∠QPB+∠QCB+∠PBC)=90度.
②当点P在线段OB的延长线上,Q在线段AB上时,如图-2,如如图-3
∵∠QPB=∠QCB,∠1=∠2,
∴∠PQC=∠PBC=90度.
③当点Q与点B重合时,显然∠PQC=90度.
综合①②③,∠PQC=90度.
∴在L1上存在点C(1,1),使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形.